2 שאלות בלינארית 2
יהי V מ"ו ממימד סופי וT:V->V טרנספורמציה לינארית T^2=T נגדיר V0=kerT
V1={v|T(v)=v}
הוכח כי V=V1+V0 (סכום ישר) אז קודם כל חשבתי הערכים העצמיים היחידים שיכולים להיות בספקטרום של טרנספומרציה אידומפטנטית (T^2=T) הם 0 ו1 ker(T) הוא המרחב העצמי של 0, וV1 המרחב העצמי של 1 החיתוך בין מרחבים עצמיים שונים הוא אפס לכן נשאר רק להראות שזה סכום רגיל. קל היה מאוד להראות את זה אם הייתי מסוגל להראות שהמטריצה לכסינה, ואז קיים בסיס של ו"ע... 2.יהי V ממ"פ ממימד סופי (dimV=n) עם מכפלה פנימית ע"פ התבנית <,> (קחו אותה כססקווילינארית ולא בילינארית מלאה, כי בסעיף א רצו הגדרה של מכפלה פנימית מעל C, אבל זה לא משנה היא עדיין הרמיטית וחיובית לחלוטין) יהי v1,...,vn קבוצת וקטורים בV ותהי C המטריצה המקיימת
C(i,j)=<vi,vj>
הוכח כי det(C)>=0 ואם det(c)=0 אז v1,..,vn ת"ל חשבתי שאפשר אולי ללכת בכיוון הזה קל לראות ש C היא הרמיטית, ולכן גם נורמלית ע"פ משפט הלכסון האוניטרי, קל מטריצה נורמלית שקולה אורתוגנלית למטריצה אלכסונית או בכך ש אם ניקח בסיס אורתונורמלי כל וקטור vi יהיה מיוצג כך
vi=<vi,a1>a1+...+<vi,an>an אם a1,...,an איברי הבסיס האורתונורמלי
ואז למעשה
<vi,vj>=<<vi,a1>a1+...+<vi,an>an,<vj,a1>a1+...+<vj,an>an>= מהססקווילינאריות והאורתונורמליות של הבסיס <vi,a1><vj,a1>^+...+<vi,an><vj,an>^ כאשר ^ מסמל צמוד ואז אולי לעבור למטריצת מקדמים לפי הבסיס האורתונורמלי?
תודה מראש
