שרשור יום ה' 13/3

[SCOOTERMAN]

מצטרף לשאלה

זו ממש הרגשה רעה להכנס באמצע הדיונים שלכם במטמטיקה עם שאלות מפגרות של מי שלא כל כך מצליח לזכור את לימודי התיכון שלו. אני מנסה להזכר בפתרון מערכת משוואות באמצעות מטריצה האם משהו יכול לתת לי הסבר קצר? למשל מערכת המשוואות הבאה: 10X+30Y+20Z=160 2X+10Y+10Z=50 X+Y+2Z=10 הפתרונות (5,3,1) ממש לא חשובים אבל ההסבר על שימוש במטריצות מאוד יעזור תודה

 

[איייייל]

בעיקרון

אם קיים פתרון יחיד, יש נוסחה סגורה עבורו ("נוסחת קרמר"). בכל מקרה (גם אם אין פתרון יחיד) אפשר להגיע לפתרון ב"שיטת בית ספר": לשם נוחות, נרשום את מערכת המשוואות בצורה קומפקטית ע"י מטריצה ("מטריצת המקדמים המורחבת"):

1 1 2 | 10 2 10 10 | 50 10 30 20 | 160​

עכשיו נעשה על מערכת המשוואות פעולות אשר אינן משנות את קבוצת הפתרונות שלה. הפעולות המותרות הן * החסרת כפולה של שורה אחת משורה אחרת * החלפת סדר של שורות * הכפלת שורה בקבוע שונה מאפס למשל, נחלק את השורה האחרונה ב 10 ואת השניה ב 2:

1 1 2 | 10 1 5 5 | 25 1 3 2 | 16​

נחסר את השורה הראשונה משתי האחרות:

1 1 2 | 10 0 4 3 | 15 0 2 0 | 6​

נחלק את השורה האחרונה ב 2, ונחסיר 4 פעמים את השורה האחרונה מהשורה השניה:

1 1 2 | 10 0 0 3 | 3 0 1 0 | 3​

נחלק את השורה השניה ב 3:

1 1 2 | 10 0 0 1 | 1 0 1 0 | 3​

נחסיר את השורה השלישית ופעמיים השורה השניה מהשורה הראשונה:

1 0 0 | 5 0 0 1 | 1 0 1 0 | 3​

נחליף את סדר השורות:

1 0 0 | 5 0 1 0 | 3 0 0 1 | 1​

כלומר המערכת המקורית שקולה למערכת הבאה: (במילים אחרות, לשתי המערכות יש אותה קבוצת פתרונות)

x=5 y=3 z=1​

בדיעבד, כיוון שהפתרון יחיד יכולנו לקבל אותו בקלות בעזרת נוסחת קרמר...

 

[SCOOTERMAN]

תודה

 

[dubby250]

סתם הערה צדדית

בכל מקרה, למערכות של משוואות שיותר משלש על שלש לא כדאי להשתמש בנוסחת קרמר, בגלל החישובים הרבים. (למעט מקרים יוצאי דופן) בדרך כלל שיטת האלימנציה היא השיטה היעילה לפתירת מערכות של משוואות, ואם יש כמה מערכות אז כדאי להשתמש בפירוק LU.

 

[חווה שואלת]

תודה לשניכם, אבל לא הבנתי...

אם אפשר להתייחס גם לשאלה שלי אני אשמח כי השאלה שנפתרה כאן, על אף שהיא דומה לזו ששאלתי, שונה משלי משתי בחינות: 1. אתם מתייחסים למקרה שיש פתרון יחיד ומחפשים מהו, ואני שואלת מתי (לאילו ערכי ג) יש פתרון יחיד, אין פתרון, יש אינסוף פתרונות (וצורתם הכללית) 2. במטריצה שלי יש ג מעצבנות שתקועות באמצע ואני לא כ"כ יודעת מה לעשות איתן. דרך אגב, אם אתם משתמשים בשיטה מסוימת כדי לפתור את זה - כמו קרמר, LU (וואטאבר איט איז), אלימינציה - אם אפשר בבקשה להסביר מהם (כי "משתמשים ב-LU" למשל לא אומר לי הרבה...) תודה רבה.

 

[טלמון סילבר]

אם למדתם חישוב מטריצה הפיכה,

אז במקרה של פתרון יחיד, פתרון המשוואה:

AX=B​

(A מטריצה, X ו-B וקטורים) הוא כמובן:

X=A^(-1)B​

האם זו הדרישה (במקרה של פתרון יחיד)? להסביר איך כותבים את זה? פתרון יחיד קיים כאשר הקוצב (דטרמיננטה) של המטריצה A שונה מ-0. לכן צריך לבדוק מתי הוא שווה ל-0, וכנראה תתקבל משוואה ממעלה שלישית, כאשר הנעלם הוא λ. עבור כל λ המאפס את הקוצב, צריך להציב אותו ולבדוק אם ה-range שלה ושל המטריצה המורחבת (3 על 4) שווים או לא. אם הם שווים, יש אינסוף פתרונות, אם לא - אין פתרון. מה לא ברור, אפשר להסביר שלב אחרי שלב.

 

[איייייל]

אצלנו

לומדים לפתור דברים כאלה (כלומר, מערכות משוואות שתלויות בפרמטר ג) לפני שלומדים על דטרמיננטות וחישוב מטריצות הפוכות... בעיקרון הדרך היא זהה לדרך בה פתרתי את השאלה השניה, כאשר מתייחסים ל ג כאל פרמטר. במקרה יצא שם שקיים פתרון יחיד, אבל הדרך מתאימה גם למקרים בהם הפתרון לא יחיד.

 

[איייייל]

כלומר,

הדרך היא לדרג את מטריצת המקדמים (כאשר מתייחסים ל ג כאל סת'ם מספר) - אבל צריך לשים לב שלא מחלקים באפס (אם מתקבל מצב כזה, צריך להתייחס אליו בנפרד - כתוצאה מכך, עבור ערכים שונים של ג יכול להיות שאין פתרון, או שקיים פתרון יחיד, או שקיימים אינסוף פתרונות).

 

[חווה שואלת]

תודה לכולם ../images/Emo13.gif

 

[eyal z]

עזרה בתרגיל בסדרות בבקשה

האיבר השני של טור הנדסי אינסופי מתכנס הוא שש חלקי שבע וסכום הטור אחרי שהחליפו בו את סימני האיברים שבמקומות הזוגיים הוא 1.4 מצא את מנת הטור, את האיבר הראשון ואת סכומו. בתודה, אייל.

 

[dubby250]

תשובה

 

[eyal z]

ותרגיל נוסף בבקשה

מסדרה הנדסית אינסופית מתכנסת שסכומה 3 יצרו סדרה הנדסית אחרת על ידי שחיברו כל שני איברים סמוכים(כלומר הראשון והשני, השני והשלישי וכ'ו). סכום הסדרה שהתקבלה הוא 2. מצא את מנת הסדרה הראשונה ואת איברה הראשון. תודה, אייל.

 

[איייייל]

פתרון

נגיד שהסדרה היא

a_k = 3(1-q)*q^(k-1) , |q| < 1​

(את המקדם מצאתי מתוך התנאי שסכום הסדרה הוא 3). הסדרה החדשה:

b_k = a_k + a_(k+1) = 3(1-q)*q^(k-1) + 3(1-q)*q^k = 3(1-q)(1+q)*q^(k-1)​

ולכן סכום הסדרה החדשה הוא

3(1-q)(1+q)/(1-q)=3(1+q)=2 ==> 1+q = 2/3 ==> q = 2/3 - 1 = -1/3​

כלומר, הסדרה היא

a_k = 4 * (-1/3)^(k-1)​

 

[stac]

לא יודע איך פותרי דבר כזה

0=0.0253125t^2 + 0.1125t^3 + 18​

 

[1ca1]

נוסחאת טרטליה-קארדנו.......

 

[stac]

מה זה? לא מכיר

 

[freedom rider]

תסתכל במאמרי הפורום

יש דף נוסחאות באלגברה.

 

[Flash_os]

למה