שרשור יום ה' 13/3

[טליגלי]

שרשור יום ה' 13/3

אלגברה לינארית. נתונים שני תת מרחבים U ו W של מרחב לינארי V צ"ל שכאשר האיחוד של U ו W שווה למרחב אז או U או W הם המרחב. מצאתי דוגמא נגדית שסותרת את הטענה ואני לא מצליחה לגלות מה הטעות. אז ככה }U={(a,b,c) כאשר הם ממשיים וקטנים או שווים לאפס. והמרחב הוא R^3 }W={(d,e,f) כאשר הם ממשיים וגדולים או שווים לאפס. לדעתי האיחוד הוא כל המרחב כי כל וקטור במרחב נמצא בו. אבל U או W בוודאי לא שווים למרחב. איפה הטעות? בתודה טלי.

 

[טלמון סילבר]

הערה ארגונית

נראה לי שהיית צריכה לפתוח הודעה כלשהי (ריקה למשל) בשם "שרשור יום ה'", ומתחתה להוסיף כתגובה ראשונה את השאלה שלך. כי כמו שאת עשית, התגובות לשאלה שלך יופיע באותה רמה כמו הודעות חדשות תחת "שרשור יום ה'".

 

[טליגלי]

אוףף איתי צודק, מצטערת. ההודעה מחדש

אלגברה לינארית. נתונים שני תת מרחבים U ו W של מרחב לינארי V צ"ל שכאשר האיחוד של U ו W שווה למרחב אז או U או W הם המרחב. מצאתי דוגמא נגדית שסותרת את הטענה ואני לא מצליחה לגלות מה הטעות. אז ככה }U={(a,b,c) כאשר הם ממשיים וקטנים או שווים לאפס. והמרחב הוא R^3 }W={(d,e,f) כאשר הם ממשיים וגדולים או שווים לאפס. לדעתי האיחוד הוא כל המרחב כי כל וקטור במרחב נמצא בו. אבל U או W בוודאי לא שווים למרחב. איפה הטעות? בתודה טלי.

 

[freedom rider]

לא הבנתי...

איך הגדרת את W ו-U? הם בכלל תתי מרחבים? האם התכוונת לתתי המרחבים הנפרשים על ידי הוקטורים האלה? ןאם כן, אז איחוד של שני תתי מרחבים ממימד 1 ייתן לכל היותר תת מרחב ממימד 2 (אם זה בכלל יהיה תת מרחב), וזה לא יכול להיות כל R^3.

 

[טליגלי]

בדקתי ש U ו W הם תת מרחב

לפי בוחן תת מרחב. לא ריקים כי (0,0,0) מוכל בהם. סגורים לחיבור כי סכום של מספר ממשי חיובי הוא חיובי וסכום של מספר ממשי שלילי הוא שלילי. וסגורים לכפל בסקלר לפי אותו הגיון. עוד לא למדנו בדיוק לחשב את המימד אבל נראה לי שהמימד של U ו W הוא שלוש ולא אחד.

 

[pallidfool]

...

האם

(-1,1,-1)​

נמצא באיחוד?...

 

[טליגלי]

אוי צודק, תודה רבה!

 

[freedom rider]

טוב, הבנתי

Uו-W שלך הם לא תתי מרחבים. למשל, W הוא אוסף כל הוקטורים ב-R^3 שכל רכיביהם אי-שליליים. קל לראות ש-W לא סגור תחת פעולת הכפל בסקאלאר. למשל, קחי את הוקטור (1,1,1) הנמצא ב-W ותכפילי אותו בסקאלר 1-. התוצאה לא נמצאת ב-W.

 

[טליגלי]

כן נכון, טעיתי לאורך כל הדרך

 

[טלמון סילבר]

קישור לבעיית פונקציות מחזוריות.

חבל שהיא תברח...

 

[טלמון סילבר]

לפני ש-halfbaked כותב את הפתרון

אנסה להציע "חצי פתרון", המתבסס על הרעיון של "הפתרון" השגוי. מחלקים את קבוצת כל המספרים הממשיים לתת-קבוצות זרות באופן הבא: כל שני מספרים ממשיים שההפרש ביניהם שווה למספר רציונלי יכללו באותה תת-קבוצה. למשל, באחת תת-הקבוצות יכללו כל המספרים הרציונליים ורק הם. בכל תת-קבוצה כזאת נבחר "נציג" אחד (הרשו לי להמשיך את השימוש במונח הזה). למשל כנציג המספרים הרציונליים נבחר את המספר 0. עכשיו "החצי החסר של הפתרון". השערה: ניתן לבחור את הנציגים בצורה כזאת, שסכומם של שני נציגים (שונים או זהים) תמיד שווה לנציג כלשהו. דרך אגב, השערה זו מחייבת את המספר 0 להיות נציגם של המספרים הרציונליים. אם ההשערה נכונה, מתקבל פתרון פשוט לבעיית שתי הפונקציות המחזוריות שסכומן שווה לפונקציית הזהות x. כל מספר ממשי x אפשר להציג באופן חד משמעי כ:

x = r + a​

כאשר r רציונלי ו-a נציג. נגדיר את שתי הפונקציות הבאות:

f(x) = f(r + a) = a g(x) = g(r + a) = r​

עכשיו ברור שעבור כל מספר ממשי x, כל מספר רציונלי r וכל "נציג" a מתקיים:

f(x + r) = f(x) g(x + a) = g(x) f(x) + g(x) = x​

כל מה שנשאר, זה לאשר את ההשערה, או... להפריך אותה.

 

[טלמון סילבר]

מישהו מוכן לאשר או להפריך

את ההשערה שבהודעה מעל?

 

[טלמון סילבר]

../images/Emo58.gif פתרון שהציע חבר שלי.

יהיו a ו-b שני מספרים ממשיים שהיחס ביניהם אי רציונלי. תהי H קבוצת כל המספרים הממשיים ma+nb כאשר m ו-n שלמים כלשהם. נחלק את כל המספרים הממשיים לתת-קבוצות זרות באופן זה: אם ההפרש בין שני מספרים שייך ל-H אז ורק אז שניהם שייכים לאותה תת-קבוצה. בהסתמך על אותה אקסיומת הבחירה, נבחר נציג כלשהו מכל תת-קבוצה כזאת. כל מספר ממשי x ניתן להציג, ובאופן חד משמעי, כ:

x = d + ma + nb​

כאשר d נציג, m ו-n שלמים. נגדיר עבור כל x ממשי:

f(x) = f(d + ma + nb) = d + ma g(x) = g(d + ma + nb) = nb​

מכאן, עבור כל x ממשי מתקיים:

f(x + b) = f(x) g(x + a) = g(x) f(x) + g(x) = x​

נדמה לי שהייתי באזור, אבל לא היגעתי... ומה בנוגע ל-x בריבוע? מה קורה, חבר'ה? הבעייה לא מושכת? מדוע אין תגובות?

 

[טלמון סילבר]

תגובה לאלגברה לינארית

לא שאני מומחה בתחום, ובבדאי לא זוכר שום הגדרות, אבל נדמה לי שחייבת להתקיים במרחב (תת-מרחב) פעולת החיסור, כלומר עבור כל שני וקטורים חייב להיות קיים וקטור שלישי, שסכומו עם אחד הווקטורים הנתונים שווה לווקטור הנתון השני, וזה כמובן לא מתקיים ב"מרחבים" המוגבלים: (1,1,1) פחות (2,2,2) שווה (1-,1-,1-) חורג ממנו. מאידך, מדוע לא נכונה ההפרכה הבאה:

U = {x,y,0} W = {0,0,z}​

?

 

[טלמון סילבר]

בוודאי בנוסף לבדאי

 

[טליגלי]

אני חושבת שהדוגמאות שלי הם כן

תת מרחב בגלל שהם לא ריקים, סגורים לחיבור וסגורים לכפל בסקלר. אני חושב שהדוגמא שלך לא נכונה בגלל שהאיחוד הוא לא כל המרחב בגלל שלדוגמה (1,1,1) במרחב אבל לא באיחוד, לא שייך לא לU ולא ל W . טלי.

 

[טלמון סילבר]

נכון,

הדוגמה שלי שגוייה, לא עשיתי איחוד אלא "חיבור אלגבראי" או משהו כזה.

 

[FordPrefect]

עזרה באינפי

יש לי שאלה. נתון סדרה של מספרים חיובים ומספר ממשי a. הגבול של המנה של שני איברים עוקבים (האיבר הn+1 חלקי האיבר הn) הוא a. צ"ל השורש ה-nי של האיבר הn-י שואף לa. אני יודע שהסדרה "דומה" לסדרה הנדסית ולכן השורש הn-י אמור לשאוף לa אבל איך מוכיחים זאת?

 

[FordPrefect]

הצלחתי (או לפחות נראה לי)

משתמשים במשפט על ממוצע גאומטרי

 

[omriabnd]

לי יש גם הצעה לפתרון

בקובץ