בבקשה
z^4 + 1 = = z^4 + 2z^2 + 1 - 2z^2 = = (z^2 + 1)^2 - (z sqrt(2))^2 = = (z^2 + z sqrt(2) + 1)(z^2 - z sqrt(2) + 1)
ובנוסף, ישנה תמיד הדרך הטכנית הבאה: מוצאים (אם אפשר) את כל השורשים, כולל המדומים. אבל מכיוון שהפולינום המקורי מורכב ממקדמים ממשיים בלבד, כל השורשים המדומים יופיעו רק בזוגות של מספרים מדומים צמודים, ולכן מכפלת (z-z1)(z-z2) כאשר z1 ו-z2 הם מספרים מדומים צמודים, תהיה תמיד פולינום ממעלה שניה עם מקדמים ממשיים. נראה זאת בדוגמה שלנו. נמצא את שורשי הפולינום:
z^4 + 1 = 0 z^4 = - 1 = e^[i(2k+1)π] z = e^[i(2k+1)π/4] z1 = e^(iπ/4) = (1 + i)/sqrt(2) z2 = e^(3iπ/4) = (-1 + i)/sqrt(2) z3 = e^(5iπ/4) = (-1 - i)/sqrt(2) z4 = e^(7iπ/4) = (1 - i)/sqrt(2) z^4 + 1 = = (z - z1)(z - z2)(z - z3)(z - z4) = = [(z - z1)(z - z4)][(z - z2)(z - z3)] = = [(z + 1/sqrt(2) + i/sqrt(2))((z + 1/sqrt(2) - i/sqrt(2))]* *[(z - 1/sqrt(2) + i/sqrt(2))((z - 1/sqrt(2) - i/sqrt(2))] = = [(z + 1/sqrt(2))^2 + 1/2)][(z - 1/sqrt(2))^2 + 1/2)] = = (z^2 + 2z/sqrt(2) + 1/2 + 1/2)(z^2 - 2z/sqrt(2) + 1/2 + 1/2) = = (z^2 + z sqrt(2) + 1)(z^2 - z sqrt(2) + 1)
ובדיוק אותו דבר אפשר לעשות גם עם התרגיל הקודם, שבחרת לא להגיב עליו (בתרגיל ההוא הפירוק לשני פולינומים ממעלה שניה עם מקדמים ממשיים - כתוב ממש בהתחלה של הדרך הראשונה).
