שרשור יום א - 20/4/03

[t284]

מותר לחזור על אותה פעולת חשבון?

 

[t284]

127008000

בהנחה שיש 6 פעולות חשבון הדרך c(6,4)*c(10,4)*8!w ה-w רשום סתם כי אם לא רשמתי כלום זה רשם לי את סימן הקריאה בצד השני.

 

[צבתות]

שאלות בחדו"א

נתונה הפונקציה:

(x^2 + y^2) * sin (1/ x^6+y^6) (x,y) != (0,0) 0 , (x,y) != (0,0)​

עבור אילו ערכי k קיימות הנגזרות החלקיות fx, fy בכל נקודה (x,y)? תשובה שלי: k>0.5, כי אז, כאשר בודקים את קיום הנגזרות החלקיות ב-0,0 לפי הגדרה (מציבים h שואף לאפס במקום x, ו-y=0, וההפך, בפונקציה, פחות ערך הפונקציה ב-0,0 שזה 0, לחלק ל-h), מקבלים

h^(2k-1) * sin (1/h^6)​

ועל מנת שיהיה קיים גבול צריך ש-h בחזקה שלו ישאף לאפס, אחרת, אין לדעת מה יהיה הגבול. ולכן k צריך להיות גדול ממש מ-1/2. המשך השאלה: עבור אילו ערכי k מתקיים fxy = fyx בכל נקודה (x,y)? במבט על הפונקציה רואים שהיא סימטרית ל-x ו-y. ולכן האינסטינקט הראשון שלי היה לסמן "לכל k". אבל עכשיו במחשבה שניה, אם הנגזרות החלקיות קיימות רק עבור ערכי k מסויימים, אולי התנאי בסעיף א' מגביל, ואז זה גם k>0.5?? כך או כך יש לי טעות באחד הסעיפים. אודה לכל עיצה בנושא.

 

[גמל מעופף]

שאלה בטריגו

בתמונה המצורפת... אז ככה, גזרתי את הפונקציה אבל בפתרון של הגזירה לא הגעתי לשום מקום. איך אני מוצא את ה X אני לא יודע... תעזרו לי בבקשה ותסבירו את הפתרון. תודה.

 

[Makover]

איפה שרשור יום א'? ../images/Emo151.gif

זה קצת אוף טופיק, אבל בגלל ההיבט "המתמטי" של השאלה, נשאל כאן: יום א': ישנתי מחצות עד 8 בבוקר. יום ב': ישנתי מ - 4:00 עד 12:00. יום ג': ישנתי מ - 8:00 עד 16:00. יום ד': ישנתי מ - 12:00 עד 20:00. יום ה: ישנתי מ - 16:00 עד חצות. יום ו': ישנתי מ - 20:00 עד 04:00. וכך חוזר חלילה. האם במהלך שבוע (או שזה 6 ימים) אני "חוסך" לי 8 שעות שינה?

 

[צבתות]

ושאלה נוספת, להלן (2)

f(x,y) בעלת נגזרות חלקיות רציפות עד סדר 2. fxx = 149/891 (נגזרת חלקית שניה לפי x). fyy = -2/11 fxy = -4 (נגזרת חלקית לפי x ואח"כ לפי y). מגדירים פונקציה חדשה ע"י

g(u,v) = f(9u+9v, 5u+6v)​

וצריך לחשב את:

d'' g / d u^2 + d''g / d v^2​

כלומר, נגזרת חלקית שניה של g לפי u, + נגזרת חלקית שניה של g לפי v. מה שעשיתי, זה קודם הגדרתי x = 9u+9v y = 5u+6v אח"כ לקחתי את הנגזרת החלקית השניה של f לפי x (כלומר fxx), כפול הנגזרת החלקית של x לפי u, + הנגזרת החלקית השניה f לפי y (כלומר fyy), כפול הנגזרת החלקית של y לפי u. אותו דבר בדיוק עשיתי גם על v (בהתאמה). והסכום הכולל יצא לי 900/891. התשובה כאמור לא נכונה. לא עשיתי שימוש כלל שנתון fxy = -4 (לא ראיתי צורך). מה אני מפספס פה שעשיתי לא נכון?

 

[Fingertip]

זה תלוי....

מצד אחד, אתה באמת ישן כל יום 8 שעות. מצד שני, אתה ער 20 שעות. אם נגיד שאתה רוצה לישון 8 שעות בלילה, הרי שאתה אמור להיות ער 16 שעות ביום. כלומר, אתה באמת יש 8 שעות כל יום ("יום" = ראשון, שני וכו') אבל אבל ביממה אתה ישן משהו כמו 4 שעות. אני חושב. אהד.

 

[Makover]

המממ...

לא כ"כ הבנתי לאן אתה חותר, אבל אני רק רוצה לקבל חיזוק שאין כאן "חיסכון" - הרי אם נקצין את ההפסקות שבין קטעי ה - 8 שעות שינה (נניח שבוע הפסקה

) אז זה הופך להיות די ברור... סתם ניזכרתי שהיה פרק כזה בסיינפלד שקריימר עשה כזה ניסוי. אם אתם זוכרים - תזכירו לי בבקשה. זה עבד או לא?

 

[fibonachi]

לא...

הוא עשה ניסוי שכל שלוש שעות הוא ישן 20 דקות אבל הוא התחיל להרדם בכל מיני מקומות מוזרים אז הוא הפסיק עם זה

 

[Makover]

../images/Emo6.gif חחחחח, גדול!

 

[snogal]

לא היה אפילו ניסוי אחד של קרמר

שהצליח.

 

[fibonachi]

פונקציות מחזוריות

פעם הייתה בפורום שאלה על פונקציות מחזוריות ואף פעם לא הגיע תשובה אולי משהו יכול להביא את הפתרון השאלה מאוד מעניינת ומטרידה

 

[ailag]

לא

ביום שישי ישנת 4 שעות ביום שבת ישנת 4 שעות

 

[איגור קרסיק]

לא השתמשת נכון בכלל השרשרת

בהתחלה גזור לפי x את הפונקציה החדשה ותקבל ביטוי לא נחמד ואחר כך גזור אותו שוב לפי x ותקבל ביטוי ממש לא נחמד, אבל בעזרת הצבות הערכים המספריים תגיע למספר המבוקש. כנ"ל לגבי y.

 

[צבתות]

אוקיי, אבל עדיין לא נמצא שימוש

לנתון fxy. גזרתי לפי כלל השרשרת נכון הפעם, אני מקווה, ויצאה לי תוצאה עגולה ויפה - 16. מה שעשיתי זה, ראשית עבור u, זה גזרתי את g לפי x (ביטוי לא ידוע) כפול הנגזרת של x לפי u, + הנגזרת של g לפי y (ביטוי לא ידוע) כפול הנגזרת של y לפי u. ואז היצבתי את הנגזרת של x לפי u, שזה 9, והנגזרת של y לפי u שזה 5. עכשיו, כדי לעשות נגזרת שניה של g לפי u, לקחתי את הביטוי שקיבלתי מהגזירה הראשונה - הנגזרת השניה של g לפי x, כפול הנגזרת של x לפי u, + הנגזרת השניה של g לפי y, כפול הנגזרת של y לפי u. וקיבלתי:

d''g/du'' = d''g/dx'' *9*9 + d''g/dy'' *5*5​

ואז הצבתי בנגזרות השניות לפי x ולפי y את fxx ואת fyy (כאמור, עדיין ללא שימוש בנתון fxy = -4), ויצא שהסכום הוא 16. האלגוריתם שלי נכון?

 

[צבתות]

גזרת ומצאת - תאמין

אחרי שגזרת את הפונקציה קיבלת ביטוי עם cos-ינוסים. אתה וודאי יודע שקוסינוס מתאפס ב-pi/2 (פאי = pi = 3.14....), וכל תוספת של pi גם מאפסת אותו (כי זה בעצם הוספה/הפחתה של 180 מעלות). אז תמצא את אותם ערכים של x שעבורם הנגזרת מתאפסת (כלומר שני הקוסינוסים שקיבלת בגזירה חייבים להתאפס בו-זמנית!). אח"כ תגזור שוב, ותוכל לומר על כל הנקודות שמצאת אם הם max,min או פיתול (מציבים ורואים >0, <0, =0 )

 

[haunter]

שאלה.

איך אפשר לדעת שנקודה היא נקודת פיתול? הרי בנגזרת השניה עצמה יכולה להיות נקודת פיתול, וגם בנגזרת השלישית וככה עד אינסוף!

 

[צבתות]

אתה וודאי צודק! אבל אפשר לדעת

ע"י הצבה של שני ערכים. אם למשל יצא לך ערך מסויים נקרא לו x1 עבורו הנגזרת מתאפסת, אם תציב שני ערכים בפונקציה, x1+d, x1-d (מספר כלשהו קטן =d), ותשווה את הערכים עם y1 (הערך של הפונקציה ב-x1), כבר תדע אם זו נקודת מינימום/מקסימום/פיתול. שהרי אם קיבלתי שני ערכים קטנים מ-y1, הרי שזו נקודת מקסימום, שני ערכים גדולים - מינימום, וערך אחד גדול והשני קטן - נקודת פיתול. הגיון, הכל הגיון. אך אמר אסי (מ-אסי וגורי): "חידה: בנאדם קופץ מצוק, הפלא ופלא הבנאדם חוזר חזרה למעלה. איך זה?! שבוע עד שפתרתי את זה. היה לו קפיץ!! הגיון, הכל הגיון..."

 

[גמל מעופף]

סליחה על הבורות אבל אתה יכול להסביר

ולפרט איך אני יכול למצוא את אותם הערכים של X שעבורם הנגזרת מתאפסת? תודה

 

[צבתות]

זה מצריך קצת משחק עם הפוקנציה

אם זה עוזר, צירפתי פה תמונה של איך הגרף של הפונקציה נראה. בסגול זה הפונקציה המקורית עצמה. באדום זו פונקציית הנגזרת. שים לב שהמקומות בהם הגרף האדום חותך את ציר האיקס (הנגזרת = 0) הם בדיוק המקומות בהם הפונקציה המקורית (בסגול) מקבלת נקודות מקסימום/מינימום/פיתול.