חצי(?) ../images/Emo58.gif
בסעיף ב' נדמה לי שהתשובה היא למרבית הפליאה 1. אבל אני לא ממש בקיא בתחום, לכן, יכול להיות שאני טועה. בסעיף א' היגעתי ל-e באופן הבא. אפשר להגיע ל-1, כלומר למלא את המשימה, אחרי ניסיון אחד, או אחרי 2 נסיונות, או אחרי 3 נסיונות, וכן הלאה עד אינסוף. אם הסבירות שנגיע ל-1 בדיוק אחרי n נסיונות שווה (p(n, אזי, אם אינני טועה, תוחלת מספר הפעמים בהם נגיע ל-1 שווה:
M = Σn*p
כאשר הסכום מ-1 עד אינסוף. בעצם, אפשר לקחת את הסכום מ-2 עד אינסוף, כי p(1)=0. אז נשאר "רק" למצוא את כל ה-(p(n. למשל (p(2. זו הסבירות שסכום שני מספרים אקראיים x ו-y, שניהם מתחום (0,1), גדול מ-1. וזה כמובן שטח המשולש:
x + y > 1 0 < x < 1 0 < y < 1
לחלק לשטח הריבוע 1 על 1, כלומר סה"כ 1/2. מעניינת הדוגמה של (p(3. היא שווה לנפח הקוביה 1 על 1 על 1, מינוס נפח הפירמידה:
x + y + z < 1 0 < x < 1 0 < y < 1 0 < z < 1
וגם מינוס נפח המנסרה המתאימה לסבירות ההגעה ל-1 כבר בשני הנסיונות הראשונים. ואת הכל צריך לחלק לנפח הקוביה 1 על 1 על 1. וסה"כ זה יוצא:
1 - 1/6 - 1/2 = 1/3
ננסה את המקרה הכללי. הסבירות לכך שב-n הנסיונות הראשונים
לא נגיע ל-1, שווה לנפח הפירמידה ה-n-מימדית:
x_1 + x_2 + x_3 + . . . + x_n 0 < x_1 < 1 0 < x_2 < 1 0 < x_3 < 1 . . . 0 < x_n < 1 .(הם שמות המִשתנים x_n ,. . . ,x_3 ,x_2 ,x_1 כאשר)
הניחוש שלי הוא, שנפח פירמידה n-מימדית זו שווה:
1/n!
בהתאם לשטח משולש ונפח פירמידה תלת-מימדית. אני בטוח שקל להוכיח את זה למשל באמצעות אינטגרל n-פעמי פשוט. אם כך, סבירות ההגעה ל-1 באחד מ-n הנסיונות הראשונים שווה:
q
= 1 - 1/n! :משמע p
= q
- q(n-1) = (1 - 1/n!) - (1 - 1/(n-1)!) = 1/(n-1)! - 1/n! n*p
= n/(n-1)! - n/n! = n/(n-1)! - 1/(n-1)! = (n-1)/(n-1)! = 1/(n-2)! M = 1/(2-2)! + 1/(3-2)! + 1/(4-2)! + . . . = e
בקשר לסעיף ב', נדמה לי שצריך לחבר רק את (p(n:
[1/(2-1)! - 1/2!] + [1/(3-1)! - 1/3!] + [1/(4-1)! - 1/4!] + . . . = = 1/1! - 1/2! + 1/2! - 1/3! + 1/3! - 1/4! + - . . . = 1
שזה נראה קצת משונה, כי בעצם תמיד נעבור את 1, אבל לך תדע... נצפה לחוות דעתם של מומחים.
