שלום

[iknow]

שלום

יש לי שאלה בקישורי הפורום מצאתי את הפסקה הבאה: Even the small details of Homer's new dimension are mathematically interesting. For example, since the equation 178212 +184112=192212 flies by Homer, students are led through reasons why it is incorrect. Notice that the left hand side of this equation is odd since it is a sum of an even number and an odd number, while the right hand side is even. Also, it is an apparent counterexample to Fermat's Last Theorem, which we had discussed earlier in the semester. On the final exam, I ask students to calculate the left hand side and the right hand side of the equation on their calculator. Most brands of calculators will show that the sides are equal. Students are then asked to resolve the apparent contradiction. השאלה שלי היא: איך באמת ניתן לישב את הסתירה? האם זה קשור לעובדה שהמחשבונים מעגלים את התוצאות שלהם?

 

[freedom rider]

הערה והבהרה

השוויון המדובר הוא

1782^12+1841^12=1922^12​

ובמילים: 1782 בחזקת 12 + 1841 בחזקת 12 = 1922 בחזקת 12. השוויון הזה לא נכון כמובן, כי ידוע לנו שמשפט פרמה-ווילס (הוא המשפט האחרון של פרמה) אכן נכון. אבל כדי להוכיח שהשוויון הזה אינו נכון לא צריך להשתמש בתותח כל כך כבד - חשבון של בית ספר יסודי יספיק בהחלט כדי להסביר מדוע אין כאן סתירה למשפט האחרון של פרמה. אני משאיר את זה כחידה עבורכם. כפי iknow משער, הסיבה לכך שמחשבונים מראים כי השוויון נכון טמונה בעיגול, אבל גם מחשבון מיושן כמו הקסיו fx-82 שלי יודע להראות כי קיים הפרש של כ-7E29 (כלומר 7 ואחריו 29 אפסים) בין שני אגפי השוויון.

 

[yuvalmadar]

למה לחשב, בכלל? ../images/Emo13.gif

המספר הימני זוגי, והמספר השמאלי אי-זוגי. (כסכום של זוגי ואי-זוגי*) * - העלאה בחזקה לא משנה את הזוגיות.

 

[avinamal]

גם מתמטיקאי וגם יודע אנגלית ! ../images/Emo13.gif

 

[yuvalmadar]

וגם עצלן ../images/Emo163.gif

 

[freedom rider]

ובזאת ענית על החידה ../images/Emo13.gif

 

[yuvalmadar]

כל הכבוד לי! ../images/Emo8.gif

 

[yuvalmadar]

אגב,

כשקראתי על homer's new dimension לא שמתי לב לnew, וחשבתי שזה איזה מושג שאני לא מכיר (של איזה הומר מתמטיקאי) - משהו כמו מרחב הילברט או משהו...

(ולכן, לא המשכתי לקרוא)

 

[1ca1]

מרחב הילברט זה לא משהו כל כך

רציני כמו שאתה חושב מרחב הילברט = ממ"פ (מרחב מכפלה פנימית) + שלם (כלומר כל סדרת קושי בו מתכנסת...) למשל L2 כלומר מרחב כל הפונקציות שאינטגרל לא אמיתי בין מינוס אינסוף לפלוס אינסוף של ריבועיהן מתכנס, הוא מרחב הילברט... (המכפלה הפנימית מוגדרת ע"י אינטגרל של מכפלת 2 פונקציות, ואפשר גם לסדר מרחב בערך כמו L2 על כל קטע סופי באופן דומה...)

 

[yuvalmadar]

טוב,

אז נותר לי רק לדעת מה זו סדרת קושי ומהו אינטגרל ובפרט אמיתי

(אני חושב שאת המטרה השנייה אשיג בסוף אינפי I - אבל באיזה תחום עוסקים בסדרות קושי?)

 

[the new L]

סדרות קושי

תמצא בתחילת אינפי 2. ב R, סדרה היא סדרת קושי אם"ם היא מתכנסת. (כי R הוא מרחב מטרי שלם, כפי שנאמר קודם לכן).

 

[1ca1]

דווקא סדרת קושי זה באינפי 1

אומרים שסדרה היא סדרת קושי (אני מניח שאתה מכיר קצת הגדרת התכנסות), אם לכל e>0 קיים N>0 כך שלכל m>n>N

|am-an|<e​

כלומר ניתן לחשוב על סדרת קושי כסדרה שאיבריה הולכים ומתקרבים אחד לשני ככל שn->אינסוף, וקיים משפט באינפי 1 שאומר שהתכנסות רגילה בR <=> הסדרה מתכנסת גם כן לפי קושי (כלומר כל סדרת קושי בR מתכנסת, וגם שכל סדרה מתכנסת, גם מקיימת את תנאי קושי להתכנסות) לגבי האינטגרל,(האינטגרלים הלא אמיתיים זה באמת באינפי 2) אתה בטוח מכיר ויודע מהו אינטגרל מסויים אמיתי, כלומר a,b 2 מספרים סופיים שמסמלים את תחום האינטגרציה וכו' באינטגרל לא אמיתי, אנחנו בעצם בודקים אינטגרלים שבאופן רגיל הם פשוט "לא אמיתיים", יש 2 סוגים: א.כאשר a או b או שניהם שווים לפלוס או מינוס אינסוף (סה"כ אינטגרל רימן (הרגיל) מוגדר כa,b סופית, אז למשל אינטגרל מa ועד אינסוף, מוגדר כגבול של האינטגרל בין a ל b כאשר b->אינסוף) לזה קוראים אינטגרל לא אמיתי מסוג ראשון. ב.אינטגרל לא אמיתי מסוג שני הוא אינטגרל של פונקציות, על קטע סופי בד"כ,כך שבתוך הקטע קיימות נקודות שבסביבתן הפונקציה לא חסומה (אם למדת על אינטגרלים, אתה יודע שבעקבות ההגדרה של רימן קל להוכיח כי חסימות של הפונקציה היא תנאי הכרחי לאינטגרביליות, ובהגדרת האינטגרל לפי דרבו, זה כבר בתוך ההגדרה (והרי הגדרות דרבו ורימן הן שקולות)) ואפשר לפעמים לשלב ולעשות כל מיני מפלצות... אז בl2 אנחנו מדברים על מרחב כל הפונקציות, כך שהאינטגרל של (f(x)^2 בין מינוס אינסוף לאינסוף מתכנס (כלומר הוא קיים וסופי...)

 

[the new L]

איפה שיובל

לומד = איפה שאני לומד = האו"פ = סדרת קושי זה באינפי 2

.

 

[1ca1]

טוב אבל

ברוב האוניברסיטאות בארץ לומדים את זה במסגרת אינפי 1 (כי משהו דפוק באו"פ, הם מגדירים גבול של פונקציה לפני גבול של סדרה, איך זה אפשרי? הרי אפשר להגדיר גבול של פונקציה בעזרת גבול של סדרה (הגדרת הגבול של היינה))

 

[yuvalmadar]

משהו דפוק באו"פ? ../images/Emo6.gif

מה הביא אותך למסקנה המבריקה הזו? אגב,

limf(x)=L x=>x0

משמעו שלכל epsilon קיים delta כך שלכל x-x0|<delta| מתקיים f(x)-L|<epsilon|.

ולמה הייתי זקוק לסדרות?​

 

[yuvalmadar]

משהו דפוק באו"פ? ../images/Emo6.gif

מה הביא אותך למסקנה המבריקה הזו? אגב,

limf(x)=L x=>x0​

משמעו שלכל epsilon קיים delta כך שלכל x-x0|<delta| מתקיים f(x)-L|<epsilon|.

ולמה הייתי זקוק לסדרות?

 

[1ca1]

כי יש עוד הגדרה

הגדרת הגבול לפי היינה והם שקולות ומשתמשים בהם באופן שווה

l יקרא הגבול של f(x) בנקודה x0 אם לכל סדרה xn כך ש xn->x0 (התכנסות של סדרות) וכן xn!=x0 לכל n מתקיים f(xn)->f(x0) n->אינסוף... זאת הגדרה מקבילה קל בה מאוד בד"כ להפריך קיום של גבולות והיא שקולה (בכמה משפטים נראה לי משתמשים בהגדרה הזאת למשל במקום בשנייה)....​

 

[Blade2]

אז מה?

זה שיש עוד הגדרה לא אומר שהיא בהכרח ההגדרה שכדאי להתחיל ממנה. באו"פ החליטו לרכז את כל מה שקשור לסדרות באינפי 2, במקום לעשות מישמש - קצת סדרות, קצת פונקציות, עוד סדרות, עוד פונקציות. סה"כ החלטה דידקטית, אין כאן אי דיוק מתמטי או משהו, אני לא רואה את זה כזה חמור כדי להכריז "משהו דפוק באו"פ". לא כל מי שמלמד בסדר שונה ממה שאתה למדת, לא יודע ללמד. (ומצד שני ייתכן גם שאתה צודק, אין לי מושג, לא למדתי אינפי 2 עדיין)

 

[the new L]

אני נוטה

להסכים עם 1ca1. הגישה של סדרות להגדרת הגבול היא מאוד אינטואיטיבית, וגבול של סדרה קל ככל הנראה להבנה יותר מגבול של פונקציה, והיה הופך את אינפי 1 בפתוחה לקורס מדורג יותר וקל יותר.

 

[נועה לביא]

אני חושבת

שצריך ללמד אינפי מנקודת מבט של טופולוגיה מטרית.