שלאה לא קלה:

[אוילר]

שלאה לא קלה:

תהי f מהממשיים לעצמם פונק' גזירה מכל סדר בכל נקודה. ידוע כי לכל x קיים n כך שהנגזרת ה nים של f בנקודה x היא אפס הוכח: f היא פולינום

 

[fibonachi]

באיזה קרוס מתעסקים עם

שאלות מסוג זה ועם המערכת E?

 

[1ca1]

מערכת E,L-תיכון....

 

[fibonachi]

לא,

אומנן את המערכת מלמדים בתיכון אבל שאלות מסוג זה שבשרשור זה והשאלה הקודמת על מערכת E זו שאלות שלדעתי מופיעות בקורס פונקציות ממשיות אבל אני לא בטוח אז רציתי לדעת מאיפה הוא מביא את השאלות הללו.

 

[אוילר]

הראשונה= אינפי 1

השנייה - זה באמת תלוי איפה את לומד השאלה השניה יותר קשה משמעותית מהראשונה (וגם יותר יפה) אז בבקשה תרשמו כל התקדמות שיש לכם..

 

[pallidfool]

ההתקדמות שלי

אני רוצה להראות שקיימת נגזרת לפונקציה שהיא זהותית אפס. הצלחתי להוכיח בינתיים שלכל איקס קיים n שהחל ממנו הנגזרות הן אפס, אבל כמובן שזה לא מספיק.

 

[pallidfool]

בעצם אני לא סגור על זה

כשאמשיך, אבדוק את עצמי

 

[fibonachi]

אני הוכחתי גם לפי שיטה זאת

גם אתה השתמשת בעוצמות?, אני מתכוון לעלות את ההוכחה שלי מחר בכול אופן בעצם עשית כמעט הכל כי בעצם אם הנגזרות הם זהותיות אפס מאיפשהו אני הראתי שהם זהותיות על קטע מסויים מאיפהשהו אתה יכול לקחת נק בקטע ולעשות טור טיילור ואז זה מתאפס מנגזרת N למשל ואז יש לך פולינום מסדר N-1. יואב.

 

[pallidfool]

למה אתה מתכוון?

מכך שאתה יכול לפתח פונ' לטור טיילור מסביב לנקודה, גם אם רדיוס ההתכנסות שלה הוא אינסוף (כמו פה) אתה לא יכול לדעת שהטור מתכנס לפונקציה בכל הישר הממשי (גם אם היא גזירה אינסוף פעמים בכל נקודה וכל זה).

 

[fibonachi]

לא ממש בטוח למה אתה מתכוון

נקח a שמתאפס ע"י הנגזרות מi ומעלה לכן לכל x בישר הממשי הפונקציה שווה לגבול של הטור של טיילור סביב הנק' a בx עכשיו מכייון שבתור הזה יש מספר מחוברים סופי כי מi הנגזרת בa היא אפס. לכן הטור הוא בעצם בעל מס מחוברים סופי והוא פולינום. אני לא רואה שום פסול בהוכחה זאת אבל תקן אותי אם אני טועה... בכל אופן אם הוכחת שנגזרת מסויימת היא זהותית אפס, ע"י אינטגרציה את יכול להגיעה שהפונקציה היא פולינום יואב.

 

[pallidfool]

איך שאני מבין, השורה השלישית שלך

שגויה.

 

[fibonachi]

אך

טור טיילור נכון לכל נקודה...

 

[fibonachi]

דניאל...

תשמע אני לא מבין את הבעיה אין פה אינסוף מחוברים זה מספר סופי של מחוברי ולפי ההגדרה של טור טיילור מה שאני אומר זה נכון אולי תוכל להסביר את עצמך מה לא נכון בהוכחה תודה, יואב.

 

[אוילר]

זה לא עובד

כי השארית שלך לא בהכרח שואפת לאפס כשאן שואף לאינסוף (זכור שאת הנגזרת בשארית לא מחשבים בנקודה שסביבה מפתחים אלא בנקודת ביניים)

 

[אוילר]

מה שכן...

יפה שהוכחת שיש קטע שעליו כל הנגזרות מסדר n (ואילך) הן אפס...

 

[Fingertip]

איפה הוא הוכיח את זה?

פספסתי?

אהד.

 

[Deathatred]

נסה את שארית לגראנז'

שנראית כמו האיבר ה n+1 בטור טיילור. כלומר: r_n(x) = (df^(n+1)(c)/dx)/(n+1)! h אם הנגזרת ה n-ית ומעלה מתאפסת אזי ברור שגם שארית לגראנז' מתאפסת.

 

[אוילר]

כמעט....

כי זכור שהוא הצליח להוכיח שהיא מתאפסת רק בקטע ומכך ניסה להסיק לגבי כל הישר....אבל c יכולה ליפול מחוץ לקטע......

 

[Fingertip]

אני מצאתי שתי בעיות עיקריות...

בעיה ראשונה: הפונקציה אכן גזירה אינסוף פעמים, ולכן יש לה טור טיילור:

Sigma [n=0, 1, ....] (an*x^n)​

אבל מה מבטיח שהטור הזה מתכנס לכל הישר הממשי? למשל, נתבונן בפונקציה:

f(x) = 1/(1+x^2)​

זו פונקציה גזירה אינסוף פעמים בכל נקודה על הישר הממשי, ולכן ניתן לפתח אותה לטור טיילור בכל נקודה. אבל, שים לב שאם תנסה לפתח אותה בנקודה x, הטור יתכנס אך ורק בסביבה של x ברידיוס:

[x^2 + 1]^0.5​

(בדוק!) (דרך אגב, למעוניינים: הסיבה שלא ניתן לפתח את הטור הזה על כל הישר הממשי היא שבנקודה i, הפונקציה לא מוגדרת. לכן, לכל x ממשי, רדיוס ההתכנסות לא יכול להיות יותר מהמרחק שבין x ל-i, שהוא:

|x - i| = (x^2 + 1)^0.5​

מעניין, הא?) כלומר, גם קיום אינסוף נגזרות לא מבטיח שפיתוח טיילור סביב נקודה כלשהי יתכנס על כל הציר. הבעיה השנייה, היא שאתה לא יודע שעבור הנקודה a שבחרת, בהכרח הנגזרת היא 0 החל מ-n מסויים. אולי עבור n = 1 היא כן אפס, אבל עבור n > 1 היא לא?

אהד.

 

[fibonachi]

הבעיה

הראשונה אתה כנראה צודק אני לא מכיר את השיטות האלו עם הi אני מתאר לעצמי שאתה לומד את זה במורכבות בעיה שניה אני לא מסכים אני מצאתי שבn מסויים הנגזרת הn-ית יש לה קטע שבו היא שווה זהותית ל0 לכן הקטע הזה שווה זהותית לאפס בכל נגזרת מסדר גבוהה יותר לכן כל נקודה בו גם תקיים. דבר שני האם תוכל יותר לפרט כמו ב f שנתת לאילו x זה מתכנס ואיך בודקים את זה? כי זה לא ממש כלול בהגדרת הטור... ואצלי אני חושב שזה לא ממש ככה כי אין אינסוף מחוברים תקן אותי אם אני טועה ותודה על התשובה!!!