שיטת מרחק מממוצע

[Itzik200]

שיטת מרחק מממוצע

שלום לכולם,
אני עושה פסיכומטרי פעם נוספת. בפעם הראשונה למדתי בקורס של יואל גבע
ועכשיו אני לומד לבד.
שמעתי מחברים שלמדו במקומות אחרים על שיטה לפתרון שאלות ממוצעים.

מישהו יכול להסביר פחות או יותר את העקרונות של השיטה?
להדגים על תרגיל?
או לקשר אותי לאתר שמסביר קצת על זה?

תודה

 

[niruzu]

אני אישית לא תומך בשיטות

הדרך הכי טובה להתמודד עם הבחינה לטעמי- היא להבין את החומר. להבין את דרך הפיתרון.
באם תרצה- הבא לכאן דוגמא של שאלת ממוצעים שאתה מתקשה איתה, הראה כיצד אתה מנסה להתמודד איתה- ואם אכן יש דרך טובה יותר להתמודד עם התרגיל כמובן שנעזור.

 

[Itzik200]

כמו שאמרתי הבעייתיות התחילה לאחר השאלה הזו:

מחירה של תערובת קפה מסוימת הוא 66 שקלים לק"ג.
תערובת זו עשויה מקפה קולומביאני שמחירו 72 שקלים לק"ג וקפה ברזילאי
שמחירו 48 שקלים לק"ג.

מה היחס בתערובת זו בין משקל הקפה הקולומביאני לבין משקל הקפה הברזילאי?


באמת שאין לי מושג קלוש אפילו איך להתחיל לפתור את השאלה הזו.
ובכל דרכי הפתרון שמצאתי באינטרנט, התבססו על השיטה הזו.

 

[העציר X]

תשובה

ניתן לעיין בפתרונות של גבע

[URL]http://fgcl16.s2.cdn.co.il/17H_perek3.pdf[/URL]

לענין שיטת הפתרון השנייה.
אתה יכול להסתכל על ממוצע כנקודת שיווי המשקל :
כלומר יש "כוחות" שמושכים אותו מטה ו"כוחות" שמושכים אותו מעלה והממוצע נמצא בנקודת האיזון בה כוחות אלו שווים.

מהם ה"כוחות" בשאלה שבדוגמא ?
קפה קולומביאני שמחירו 72
קפה ברזילאי שמחירו 48

הממוצע תמיד יהיה בתחום של בין 2 כוחות אלו (במקרה שלנו 66).
אם יהיה בתערובת הרבה מהקפה הקולמביאני הממוצע יהיה יותר קרוב למחיר של הקפה הקולומביאני.
אם יהיה בתערובת הרבה מהקפה הברזילאי הממוצע יהיה יותר קרוב למחיר של הקפה הברזלאי.
אם הם בכמות שווה הממוצע יהיה בדיוק באמצע בין 48 ל72 .

המרחק של 66 מ 48 הוא 18.
המרחק של 66 מ 72 הוא 6 .

כלומר יש בתערובת יותר קפה קולמביאני (הממוצע יותר קרוב ל 72) .
פי כמה יותר ?
פי 3 כיוון שהמרחק 6 קטן פי 3 מהמרחק 18.

 

[הייה דייקן]

הרעין הוא להסתכל על זה כמו נדנדה

שבצד אחד יושב ילד השמן ובצד השני ילד רזה.
לאיזה כיוון תנטה הנדנדה? כמובן שלכיוון הילד השמן.
אבל כמה היא תנטה לכיוון הילד השמן? תלוי כמה השמן שמן וכמה הרזה רזה או ליתר דיוק - מהו יחס המשקלים בין השניים.
אם יחס המשקלים הוא 1:10 לטובת השמן, אז הנדנדה תנטה מאוד לכיוון השמן ואם היחס הוא רק 4:5 אז היא עדיין תנטה לכיוון השמן אבל פחות.

אם הבנת את זה, אז אפשר להמשיך לשאלה.
בשאלה הזה נותנים לנו את הממוצע ואת המשקלים של תערובות הקפה ("הילדים") ומזה אנחנו צריכים להבין מה יחס המשקלים ביניהם.

נשרטט את הנתונים שידועים לנו:

קולומביאני הממוצע ברזילאי
72___________66___________________________48


תחשוב לרגע שאם התערובות היו שוות (היה לנו למשל קילו קולומביאני מול קילו ברזילאי) אז הממוצע היה אמור להיות בדיוק באמצע ביניהם - ב-60.
מכיוון ש-66 קרוב יותר לקולומביאני (72) מאשר לברזילאי (48) אתה מבין, שהקולומביאני "מושך" יותר לכיוון שלו היות והוא "שמן" יותר מהברזילאי.
כמה שמן יותר? כיחס המרחקים של התערובות מהממוצע.
אם תשים לב תראה שהמרחק בין הממוצע לבין הקולומביאני הוא 6, בעוד המרחק בין הממוצע לבין הברזילאי הוא 18.
זאת אומרת, יחס המרחקים שלהם מהממוצע הוא 6:18 או לאחר צמצום 1:3.
יחס המרחקים מהממוצע הוא גם יחס המשקלים ביניהם ולכן יחס המשקלים הוא 1:3.

זו אגב דוגמה לאחת הבעיות החמורות של יואל גבע: דרכי פתרון עלובות שלא מתבססות על הבנה עמוקה.

 

[Itzik200]

מלבד זה, הנה דוגמא לשאלה שבאמצעות עקרון

אחר של השיטה אפשר לפתור את השאלה במהירות על, בלי חישובי ענק.

ממוצע ציוני פסיכומטרי של שלוש חברות, גאיה, גל וגילי, הוא 630,
לחבורה הצטרף שלמה, שציונו 790.
מה הממוצע של החבורה החדשה?

עפ"י השיטה יש לחשב את המרחק בין הציון הנוסף לבין הממוצע - 160,
ולחלק אותו במספר הפרטים המרכיבים את הממוצע - 4
מה שנותן לנו 40, אותם מוסיפים לממוצע הקודם
ולכן התשובה היא 670.

נכון שאפשר לעשות את אותו הדבר בחישוב של סכום הציונים של הבנות - 3X630,
לחבר לסכום הנ"ל 790 ולאחר מכן לחלק ב4.
אבל לעשות חישובי ענק כאלו קצת יכול לגרור טעויות.
לכן פה השיטה מתבררת כיעילה.

 

[אקונומיקה]

מרחק מהממוצע נובע מתוך הבנה של עקרון הממוצע

הרעיון הוא שיחס המרחקים מהממוצע הפוך ליחס גדלי הקבוצות ולכן באמצעות ההפרשים בין הקבוצות ניתן למצוא את הממוצע במדויק מבלי לבצע חישוב של ממוצע משוקלל - אין כאן שום טריק אלא הבנה של עקרון.

 

[הייה דייקן]

הסבר

אם הבנתי נכון, אתה כנראה מתכוון לשיטת הציר.

שאלה שהמצאתי הרגע:
מחירו של ק"ג בוטנים הוא 20 ש"ח. מחירו של ק"ג אגוזים הוא 10 ש"ח. יואב קנה 3 ק"ג בוטנים וק"ג אגוזים.

כמה כסף שילם יואב בממוצע עבור כל ק"ג?

התשובה היא שמכיוון שהיחס בין בוטנים לאגוזים הוא 1:3 יש לנו בסה"כ 4 יחידות יחס.
מכיוון שיואב קנה יותר בוטנים מאגוזים, אתה יכול להבין שהממוצע יהיה איפשהו בין 10 ל-20 אבל ינטה לכיוון הקבוצה הגדולה - הבוטנים. היחס בין גדלי הקבוצות הוא 1:3 ולכן בסה"כ יש 4 יחידות יחס.
המרחק בין 10 ל-20 הוא 10 ומכיוון שיש 4 יחידות יחס אז כל אחת מ-4 יחידות היחס תהיה שווה ל-2.5.
כלומר, הממוצע יהיה 17.5.


שאלות לדוגמה ממבחנים של המרכז הארצי שמתבססות על העיקרון הזה:
17H, פרק 3, שאלה 24
אפריל 2012, פרק ראשון, שאלה 22
דצמבר 2012, פרק ראשון, שאלה 7
אפריל 2012, פרק שני, שאלה 7
דצמבר 2012, פרק ראשון, שאלה 8 על הגרף

 

[Itzik200]

תודה רבה! למרות שעדיין אני לא מבין את הרעיון

לעומק...

ואכן הבעיה נבעה לאחר שניסיתי לפתור את שאלה 24 ב17H

 

[Itzik200]

מקפיץ

מקפיץ...

בבקשה?