שטף. אינטגלרים

[reckon]

שטף. אינטגלרים

אני צריך לחשב שטף על עיגול בעל רדיוס r הנמצא במרחק d ממטען נקודתי מה שאני אומר, זה שבמקום לחשב שטף על משטח עגול, אני יכול לחשב שטף על חלק מכדור ("קערה", לא יודע איך קוראים לצורה הזאת בצורה מתמטית). ולעשות מינוס על התוצאה. ציירתי את הקערה (קו אדום). אני יכול לחשב את הרדיוס שלה ואת הזווית(טריגו פשוט). אבל עדיין אני לא יודע טכנית איך מחפשים שטף. אני יודע שזה אמור להיות אינטגרל של שדה כפול השטח. וזהו- אני לא יודע איך מחשבים את זה (איך עושים את האינטגרל). מישהו פה יודע להראות לי?

 

[סוס כסוף]

הניסוח לא כל כך ברור.

היכן בדיוק המטען הנקודתי והיכן העיגול? והאם מה שמחפשים זה השטף שיוצר המטען הנקודתי דרך השטח של העיגול?

 

[reckon]

צודק. הנוסח המלא היה:

נתונה מעטפת גלילית בעלת אורך L = 8 cm ורדיוס R = 5 cm. נסמן את הבסיס השמאלי ב־A ואת שאר פני הגליל (בסיס ימני + פאה מעגלית) ב־B. על צירה של המעטפת, במרחק D = 14 cm מ־A, מוחזק מטען Q = 1.8 esu. חשבו את השטף החשמלי דרך A. אני מתעלם מהגליל ומתייחס אך ורק לשטח A (שהוא עיגול). ודרכו אני צריך לחשב את השטח. השיטה שבחרתי בה זה לבנות מעטפת דמיונית כדורית ולחשב את השטף דרך הגיזרה שלה. בעיה זה האינטגרל.

 

[סוס כסוף]

חישוב האינטגרל

הבעיה דומה לצלחת ברדיוס R ונורה התלויה מעליה בגובה D והשאלה היא כמה שטף עובר דרך הצלחת הזאת. אני אחלק את הצלחת לטבעות שהמרכז שלהן מתלכד עם המרכז של הצלחת. כל טבעת היא בעלת עובי של dr. ניקח טבעת כלשהי ונניח שהיא נמצאת ברדיוס r מן המרכז. בגלל ש dr שואף לאפס, אז הרדיוס של הצד החיצוני של הטבעת שווה לרדיוס של ההצד הפנימי של הטבעת. עכשיו אני משרטט רדיוסים מן המרכז, המחלקים את הזווית המרכזית לזוויות בגודל dTheta. לנוחיות הכתיבה, בהמשך אני ארשום dT, אבל צריך לזכור שהכוונה לזווית ולא לזמן. כל dT כזה הוא גם כן שואף לאפס והסך הכל של כל ה dT הוא 2 פאי. על פני הטבעת שלנו, הזוויות האלה מקצות אורכי קשת באורך של r*dT. אז עכשיו הטבעת שלנו מחולקת למשבצות שהאורך הרדיאלי שלהן שווה ל dr והאורך המשיקי שלהן שווה ל r*dT. בגלל שגם dr וגם dT הם שואפים לאפס, אפשר להגיד שאלמנט השטח של כל משבצת הוא מלבן שגודלו dA = dr*(rdT)=r*dr*dT הגודל הזה הוא נקודתי, אז אפשר להניח שהשדה על פניו הוא אחיד (כלומר לא משתנה אם נעים מקצה אחד של המשבצת אל הקצה השני של המשבצת). אז השטף שעובר דרך משבצת כזאת E'*r*dr*dT. ה(') שרשמתי ליד E מציין שזה לא כל השדה שעובר שם, אלא רק הרכיב המאונך שלו. את החישוב של הרכיב המאונך הזה נעשה בהמשך. קודם כל נחשב את השטף שעובר דרך כל הטבעת שבחרנו. זה יהיה אינטגרל לפי T מאפס ועד 2 פאי של השטף דרך אלמנט השטח.

F(tabaat) = ⌡E'*r*dr*dT = כל הגדלים חוץ מן הזווית הם קבועים אז אפשר להוציא אותם מחוץ לאינטגרל ונקבל F(tabaat) = E'*r*dr⌡dT = E'*r*dr*(2Pi) = 2Pi*E'*r*dr​

כדי לחשב את E צריך את המרחק בין המטען לבין אלמנט השטח הספציפי שבו אנחנו מודדים. במבט מן הצד הגיאומטריה תיראה כך A O B A הוא מיקום המטען, O הוא מרכז הצלחת ו B הוא המיקום של אלמנט השטח שבו אנחנו דנים. AO=d OB=r אני אסמן את הזווית OAB=x וזה יהיה משתנה האינטגרציה שלי (ראה בהמשך). בשביל השדה אני צריך את AC. אז חישוב טריגו במשולש OAB נותן AB=d/cosx E=Kq/AB² = Kq/(d/cosx)² = (Kq/d²)*cos²x באותו משולש OAB r=d*tgx הרכיב האנכי של השדה שווה לשדה כפול קוסינוס הזווית E=E'cosx = (Kq/d²)cos³x עכשיו נעשה אינטגרציה של כל הטבעות עבור הרדיוסים מ 0 עד R.

F(total) = ⌡(Kq/d²)*cos³x*r*dr r=dtgx dr=(dtgx)'*dx = d/cos²x*dx F(total) = ⌡(Kq/d²)cos³x*(dtgx)*(d/cos²x)dx = Kq/d²⌡cosx*tgx*dx = Kq/d²⌡sinxdx = Kq/d²*cosx נחשב את הגולות של האינטגרציה לפי איקס cosx=d/√(r²+d²) r=0 ---> cosx=1 r=R --> cosx = d/√(R²+d²) F(total) = Kq/d²*[d/√(R²+d²) - 1]​

r=R-----> x=

 

[נברא]

תרשה לי

להודות לך על ההשקעה במקום הגולש שתיזז אותך ונעלם...

 

[סוס כסוף]

ראשית, תודה רבה. שנית,

לא מן הנמנע שהוא שומר שבת ויחזור אלינו אחרי השבת. שלישית, בהחלט יכול להיות שיש דרך ללא אינטגרל: פשוט לפי יחסי הזווית המרחבית של הכיפה שמאחורי העיגול A לבין כלל פני הכדור. הבעיה היא שאני לא יודע להוכיח את זה וגם לא לחשב את זה...

 

[Delver]

תודה רבה על ההסבר!

נתקלתי בפוסט הזה בגוגל לקח לי קצת זמן עד שהבנתי את מה שרשמת, בטוח יש דרך פשוטה יותר לחשב את זה.. אבל גם אני לא מצליח לחשוב על משהו. בכל מקרה תודה רבה!

 

[Delver]

דבר נוסף

רק שים לב ששחכת בחישוב שלך לחלק ב d^2: יש לך d מ ה- r שמוכפל ב d נוסף שבא מה- dr ושניהם (d^2) מחולקים באלמנט הזהה שמתקבל בחישוב השדה