שטחים במשושה

[הפרבולה1]

בתוך משושה משוכלל בוחרים נקודה ומחברים אותה לקודקודיו, מקבלים 6 משולשים.
צובעים את המשולשים לסרוגין בצהוב כחול.
צריך להוכיח שהשטח הכחול שווה לשטח הצהוב.

 

[עריסטו]

נבנה על הצלעות הצהובות של המשושה משולשים שווי צלעות כפי חוץ (כלומר נשלים את המשושה למשולש שווה צלעות). "קל להוכיח" שאם בוחרים נקודה בתוך משולש שווה צלעות אז סכום מרחקי הנקודה מצלעות המשולש הוא קבוע ושווה לגובה המשולש. לכן סכום גובהי המשולשים הכחולים קבוע ושווה לגובה המשולש, באותו אופן סכום גובהי המשולשים הצהובים קבוע ושווה לגובה המשולש, לכן סכום שטחי המשולשים הכחולים שווה לסכום שטחי המשולשים הצהובים.

 

[הפרבולה1]

נבנה על הצלעות הצהובות של המשושה משולשים שווי צלעות כפי חוץ (כלומר נשלים את המשושה למשולש שווה צלעות). "קל להוכיח" שאם בוחרים נקודה בתוך משולש שווה צלעות אז סכום מרחקי הנקודה מצלעות המשולש הוא קבוע ושווה לגובה המשולש. לכן סכום גובהי המשולשים הכחולים קבוע ושווה לגובה המשולש, באותו אופן סכום גובהי המשולשים הצהובים קבוע ושווה לגובה המשולש, לכן סכום שטחי המשולשים הכחולים שווה לסכום שטחי המשולשים הצהובים.

אכן, זה גם ההוכחה שהגעתי אליה.

 

[AnarchistPhilosopher]

נבנה על הצלעות הצהובות של המשושה משולשים שווי צלעות כפי חוץ (כלומר נשלים את המשושה למשולש שווה צלעות). "קל להוכיח" שאם בוחרים נקודה בתוך משולש שווה צלעות אז סכום מרחקי הנקודה מצלעות המשולש הוא קבוע ושווה לגובה המשולש. לכן סכום גובהי המשולשים הכחולים קבוע ושווה לגובה המשולש, באותו אופן סכום גובהי המשולשים הצהובים קבוע ושווה לגובה המשולש, לכן סכום שטחי המשולשים הכחולים שווה לסכום שטחי המשולשים הצהובים.

קל להוכיח? אז תוכיח!

 

[עריסטו]

קל להוכיח? אז תוכיח!

זה נובע מחישוב פשוט של שטחים.

 

[הפרבולה1]

קל להוכיח? אז תוכיח!

הוכחה
נתון משולש שווה צלעות עם צלע a וגובה h אז שטח המשולש הוא S=h*a/2
תהיה נתונה נקודה בתוך המשולש נוריד ממנה אנכים h1 h2 h3 לצלעות ונחבר אותה לקודקודים , קיבלנו 3 משולשים צהוב סגול ירוק עם גבהים h3 h2 h1 בהתאמה.
שטח המשולש הגדול הוא סכום המשולשים צהוב סגול ירוק ... מפה "קל לראות" ש h=h1+h2+h3 שזה מה שצריך להוכיח.

 

[הפרבולה1]

הוכחה
נתון משולש שווה צלעות עם צלע a וגובה h אז שטח המשולש הוא S=h*a/2
תהיה נתונה נקודה בתוך המשולש נוריד ממנה אנכים h1 h2 h3 לצלעות ונחבר אותה לקודקודים , קיבלנו 3 משולשים צהוב סגול ירוק עם גבהים h3 h2 h1 בהתאמה.
שטח המשולש הגדול הוא סכום המשולשים צהוב סגול ירוק ... מפה "קל לראות" ש h=h1+h2+h3 שזה מה שצריך להוכיח. צפה בקובץ המצורף 40731

ואגב זה נכון לכל מצולע משוכלל : בהנתן נקודה כלשהיא בתוכו אז סכום המרחקים שלה לכל אחד מהצלעות הוא קבוע.
ההוכחה מתבססת על חישובי שטחים כמו במשולש.

 

[עריסטו]

ובאופן כללי אם מחלקים מצולע משוכלל בעל nk צלעות למשולשים ב-n צבעים: אם k=2 הטענה ברורה ואם k>2 משלימים את המצולע למצולע משוכלל בעל k צלעות.
בנוסף יש את משפט הפיצה:

Pizza theorem - Wikipedia

en.wikipedia.org