שאלה.

[Alpaka in Cambodia]

שאלה.

אני קוראת כרגע ספר על יחס הזהב, ומודה שהמספר מרתק מאין כמוהו. השאלה שעלתה בראשי - ללא ספק מוצאים שהמתמטיקה מתארת בצורה מדויקת תהליכים פיסיקליים בטבע וכן כל מיני מצבים ויחסים, גיאומטריים או טבעיים. האם כל המספרים האלה היו תקפים גם אם לא היינו משתמשים בחשבון עשרוני? כוונתי היא למשל למספר כגון פאי או יחס הזהב פי. האם מספרים אלה היו נוצרים והיו תקפים גם אם המתמטיקה הייתה נבנית על בסיס אחר, שאינו של 10 ספרות? התחושה שלי אומרת שכן, אבל משום מה זה מטריד אותי ואני לא מצליחה להגיע בעצמי לתשובה. שהרי הבחירה בבסיס 10 כבסיס למתמטיקה היא שרירותית למדי, וההיגיון אומר שקבועים מתמטיים שמתארים מצבים טבעיים קיימים בפני עצמם, בלי קשר למספרים שמודדים אותם. אבל בכל זאת אני מנסה לחשוב האם במתמטיקה על בסיס אחר היה ניתן להגיע לאותם חישובים ולאותן תגליות פיסיקליות, ולמספרים כגון פאי, פי ומספרים מפורסמים אחרים. בבקשה למי שעונה - לא רק להגיד לי אם כן או לא, אלא לנסות לתת גם הסבר שיגרום לי להבין. תודה לעונים.

 

[Alpaka in Cambodia]

שאלות נוספות (ומציקות ../images/Emo13.gif)

קיימים תחומים מתמטיים שבהם משתמשים בבסיס 2 ובבסיס 16. את בסיס 2 אני מבינה - הוא הומצא בשביל המחשב, המחשב יכול להשתמש בשני מצבים, וכדי ליצור מתמטיקה "עבור" המחשב, יש צורך להפוך אותה לבינארית. אבל מתי ולמה משתמשים בבסיס 16? ואיך הגיעו למסקנה שזה בסיס שצריך להשתמש בו עבור התחומים האלה? (אגב, אני מרגישה שזה עונה לי קצת על השאלה המקורית - כי אני יודעת למשל להמיר כל מספר עשרוני רגיל למספר בינארי ולהפך, כך שלכאורה אפשר להמיר את כל המתמטיקה לבינארית והכל יישאר אותו הדבר. אני מניחה שאותו כנ"ל לגבי הקסדצימלית. אבל עדיין משהו מטריד אותי, שאם לא משתמשים בצורה עשרונית, אולי יש דברים שלא יצאו אותו הדבר - הכוונה שלי היא כשמגיעים לשברים, מספרים אי רציונליים, שורשים ושאר דברים שמתקיימים עבורי לפחות רק בצורה עשרונית.) שאלה שנייה לגבי מספרים שהם השורש של מינוס 1 (אני כבר לא זוכרת איך קוראים להם, עברו כמה שנים מאז התיכון). אז גם לגביהם - האם הם קיימים אך ורק במתמטיקה תיאורטית, כמספרים שהמציאו כדי לעשות איתם עוד דברים שהם מתמטיקה טהורה? אני זוכרת שכשלמדתי את הנושא, אמרו לי שיש לו שימושים בפיסיקה ובמתמטיקה. כבר אז לא הצלחתי להבין - איך מספרים שכלל לא קיימים והם לחלוטין המצאה אנושית, משמשים לחישוב של דברים ממשיים, של תופעות פיסיקליות? אז האם זה נכון ולמספרים האלה יש שימוש מעשי - ואם כן, אז כיצד זה יכול להיות? האם הם הומצאו כדי לשרת את השימוש הזה? האם הומצאו "סתם" כקריזה מתמטית ומאוחר יותר התגלה שאפשר באמת להשתמש בהם? ושאלה כללית - האם המתמטיקה על התפתחויותיה הומצאה כדי לשרת שימושים ולחשב חישובים, או שבעזרת הבסיס הקיים ניתן לחשב את כל מה שצריך? הכוונה שלי אינה לדברים כמו המספרים 1, 2, 3 או שברים, אלה דברים שמתבקשים מהבסיס. הכוונה שלי היא לכלים מתמטיים שהומצאו מאוחר יותר, למשל כמו המספרים שהם השורש של מינוס 1, ואינם קיימים כלל - אך בכל זאת הם בשימוש. בטח יש עוד כלים מתמטיים שפותחו מאוחר יותר ואינם נגזרים באופן טבעי מהמספרים הרציונליים - אז האם הם פשוט הומצאו כדי למצוא עוד תחומים במתמטיקה? פשוט לא ברור לי איך לפתע "מומצא" מספר חדש, תחום חדש או כלי חישוב חדש, ולמרות שהוא פיתוח אנושי ניתן להיעזר בו לתאר מצבים טבעיים. (אני מקווה שהשאלה ברורה).

 

[Moonshadow]

נסיון לשאלה הכללית

זה לא שמומצא מספר חדש כדי לפתח תחום חדש שאף אחד לא צריך לשום מטרה אלא סתם כי זה כיף לחשב (למרות שזה באמת כיף לחשב). לפי איך שאני רואה את זה לפעים, כל העולם הוא בעיה מילולית אחת גדולה, שרק מחכה להיות מתורגמת למספרים. יש חלקים שיותר קל לתרגם למספרים, בד"כ אלו העוסקים בגולות וגוגואיםפ ושאר משחקי ילדים וכלכלת עולם ישן. אבל בשביל דברים כמו נפח של צורות, חישובים על כל מיני מעגלים, ניווטים והסיכוי לחטוף התקף לב בתזונה חסרת כולסטרול, היו צריכים להמציא (או לגלות, יותר נכון) פעולות חדשות ומתוחכמות יותר, ומספרים שהם אולי קצת מכוערים אבל חוזרים במקומות רבים. לא כל תחומי המתמטיקה חוקרים או מקבילים למשהו שבאמת נמצא על כדור הארץ, אבל הם לא מרחפים לגמרי באויר. ועכשיו אתן למישהו אחר להסביר את השאר ולמנוע ממני לדבר עוד שטויות...

 

[גריל מסע]

הסיכוי לחטוף התקף לב בתזונה חסרת

כולסטרול? מה יהיה, נועה?

 

[Belgarath1]

לגבי בסיס 16

לפי מה שאני יודע השימוש הנפוץ בבסיס 2 ו- 16 הוא במחשבים. כל ספרה בינארית בבסיס 2 נקראת ביט, כאשר מקבצים ביחד 8 ספרות הן נקראות בייט, כיום רוב החומרה בנויה בקבוצות של 32 ביטים. למחשב מאוד קל "להבין" בינארית אבל לנו כבני אדם יותר קשה גם לכתוב כל פעם 32 ספרות של 0 ו- 1 וזה גם מאוד חדגוני וקל להתבלבל. לכן כל 4 ביטים יכולים להיכתב כסיפרה בבסיס 16 (גם מאוד קל לעבור בין הבסיסים האלו) וכך במקום לכתוב 32 ספרות בבסיס 2 כותבים רק 8 ספרות בבסיס 16. אגב: אני לא בטוח שזו הסיבה ההיסטורית לשימוש בבסיס 16.

 

[נבטכהן]

הסבר חלקי

כל מה שאני יכול להגיד זה שהיחס נשאר זהה, לא משנה איזה המרת בסיסים תעשה (או תעשי?). זה נכון גם לגבי פעולות, ושורש 9 = שורש 1.0.0.1.

 

[aa24]

סוגי מספרים

למרות שההשוואה נראית קצת מגוחכת, זה בערך כמו לשאול האם מספרים שליליים הוכנסו כי הם נותנים פתרונות למשוואות מסוג x+1=0, ומאפשרים מתמטיקה יותר גמישה או כי יש איזשהו מודל פיסיקלי שמקיים אותם. היום אנחנו לא יכולים לדמיין את החיים בלי מספרים שליליים (במידה מסויימת אוברדראפט נראה לנו הרבה יותר ממשי מיתרת זכות בחשבון), אבל לפני נקודה מסויימת בהיסטוריה, המספרים השליליים היו דימיוניים בדיוק כמו שורש של מספר שלילי עבורנו היום. אפשר לפתוח דיון פילוסופי האם מספרים שליליים קיימים תמיד, באיזשהו עולם מתמטי טהור - ובאיזשהו שלב הנסיבות ההיסטוריות הביאו לגילוי שלהם או שהמין האנושי הגיעה לרמת תחכום חדשה והיה צריך -להמציא- מספרים מסוג חדש. זה אולי נשמע קצת מצחיק, כי אנחנו כ"כ רגילים למספרים שליליים, אבל אם ניקח לדוגמה את המספרים הממשיים - האם שורש שתיים ופאי באמת קיימים, או שהשימוש בקונספט שלהם רק מאפשר לנו לפתור בעיות יותר מעניינות במתמטיקה מאשר בלעדיהם? ואם הם "קיימים עצמאית" אז באיזה אופן? הרי אי אפשר לכתוב אותם במדוייק אף פעם - ובמובנים מסויימים אף בן אדם אף פעם לא יוכל באמת "להחזיק" פאי, יותר משנוכל "להחזיק" שורש של מינוס 1. באופן שנראה היום קצת הזוי השאלה האם ישויות מתמטיקות באמת "קיימות" באיזשהו אופן אבסולוטי או שהן מקבלות חיים רק באמצעות מודלים מציאותיים הביא בתחילת המאה לפילוג רציני מאוד בקהילה המתמטית, עם יריבויות אישיות, הכפשות, ואישפוזים במוסדות פסיכיאטריים. אני לא בטוח לחלוטין, אבל נדמה לי שמספרים מרוכבים הוכנסו במסגרת המשפט היסודי של האלגברה שחוזה N פתרונות למשוואה ממעלה N (לדוגמה, שתמיד יהיו 2 פתרונות למשוואה ריבועית), ויצא המקרה וחלקם מתוארים באמצעות שורשים של מספרים שליליים. נראה לי שרק אחרי שהמספרים המרוכבים התקיימו כקונספטים מתמטיים נמצא להם מודל של תיאור במערכת צירים דו-מימדית, אבל יכול מאוד להיות שאני טועה. ממליץ על "משפטי גדל ובעיית היסודות של המתמטיקה" בהוצאות האוני' הפותוחה לקבל טעימה קטנה מהדיונים שהתקיימו בנושא סביב המספרים האי-רציונאליים ותורת הקבוצות, ו-the history of mathematics - abridged לנגיסה קצת יותר גדולה (ולעיתים מייגעת) בהתפתחות שיטות המספרים.

 

[arielii]

תיקון קל-בהוצאת האונברסיטה המשודרת

 

[aa24]

תודה

 

[arielii]

ועוד משהו-

אם מדברים על האוניברסיטה הפתוחה, אז "תורת המספרים האלמנטרית" הוא הספר היחיד מסוגו בנושא זה בעברית. יצא בשנה האחרונה, ויש גם קורס כזה.

 

[Alpaka in Cambodia]

תודה על התשובה.

האם למספרים המרוכבים יש באמת שימוש שנוגע לחיי המציאות? הכוונה היא למשל בתיאורים גיאומטריים, או במשוואות פיסיקליות, ובקיצור - האם המספרים האלה אכן משמשים לחישוב של משהו במציאות, או רק לפתרון של משוואות מתמטיות ושל דברים ששייכים אך ורק לעולם המתמטיקה? ואם כן, אז שוב - כיצב יכול להיות שמספר שלא קיים, בטח לא קיים בשום צורה טבעית שהרי אין באמת שורש למינוס 1, יכול לתאר משהו תכלס? האם יש מצבים או דברים שלא ניתן לחשב ללא מרוכבים? הרי בניגוד למינוסים, שיש להם משמעות, לשורש של מינוס אחד אין שום משמעות (ואם אני טועה אני אשמח אם יצליחו להסביר לי את משמעותו וכיצד הוא "קיים"). ואם הם הומצאו רק כדי לאפשר קיומו של רעיון מתמטי (N פתרונות למשוואה ממעלה N), אז כיצד ההמצאה האנושית הזאת משתלבת עם חישובים "אמיתיים".

 

[aa24]

תסתכלי על זה ככה:

הנקודה היא שגם מספרים שליליים לא קיימים בשום צורה "טבעית" - באיזה מובן למספרים שליליים יש משמעות? את יכולה להראות לי מינוס שלושה תפוחים? ברגע שהמתמטיקה חרגה מתחום המספרים הטבעיים, כבר לא ניתן למצוא אנלוגיות בסיסיות לפעולות מתמטיות. בגלל שמגיל צעיר מאוד למדנו להכיר מספרים שליליים ושברים, הם נתפסים בעיננו כעצמים מתמטיים "מוחשיים", למרות שגם הם בפועל הרחבות של המתמטיקה ה"טבעית". שוב כדי להדגיש אני אחזור לתחום המספרים הממשיים, שגם אותם מוכרים לנו כעצמים מתמטיים "מוחשיים", למרות שהם מפלצות הרבה יותר בעייתיות משורש של מינוס אחד : איך פאי יכול לתאר משהו ת'כלס? מדובר בישות מתמטית אינסופית - ועדיין, היחס בין שטח המעגל להיקף הוא -בדיוק- פאי. לא בערך, לא בקירוב, בדיוק. אף אדם או מחשב לא יהיה מסוגל אף פעם לחשב את פאי, ועדיין, כל פעם שאת משתמשת במחוגה, העסק מסתדר, והיחס בין שטח המעגל להיקף יהיה בדיוק פאי. האם העובדה שפאי הוא מספר דמיוני (למרות שבאופן אירוני קוראים לו מספר ממשי), מפחית מהשימושיות שלו? או אם ניקח שורש של שתיים - שוב, מדובר במפלצת אין-סופית ולא ניתנת לתיאור בלי שימוש בהרבה דברים ששמים חלקים נכבדים מהלוגיקה בצד. ועדיין, ההגדרה של המפלצת הזאת היא שאם תכפלי אותה בעצמה, תקבלי -בדיוק- 2. לא בערך, לא בקירוב - בדיוק. זה נשמע פחות מטריד, כי אנחנו רגילים להשתמש בשורשים מסוף היסודי בערך, אבל תחשבי לרגע מה נאמר כאן - אם תקחי שתי ישויות אין-סופיות, ותכפלי אותן אחת בשניה (פעולה שאף מוח אנושי או מחשב לא מסוגל לבצע גם אם יהיה לו את כל הזמן שבעולם), תקבלי מספר שלם סופי ותמים למראה. האם העובדה שאף בן-אדם (או מחשב לצורך העניין) לא יהיה לעולם מסוגל לבצע את החישוב הזה (וכאן שוב ניתן לשאול באיזה מובן הכפלת שורשים קיימת אם מדובר בפעולה שלכאורה לעולם לא תפיק תוצאה סופית) מפחית מהעובדה השימושית ששורש שתיים בריבוע הוא שתיים? מעבר לשאלות הפילוסופיות אם לשורש של מינוס אחד או לשורש שתיים יש זכות קיום כמספרים באופן הבסיסי של המילה (נעזוב לרגע את התכונות המתמטיות שמגדירות מה הוא מספר), לאחרונה (נדמה לי שבאזור שנות ה-60? help anyone?) הראו (רימן?) שהמערכת שאנחנו רגילים לתפוס כ"ציר" מספרים היא למעשה מעין כדור, שע"י הזחות סימטריות שלו אפשר לראות שהמספרים ה"דמיוניים" (שורש של מינוס 1) הם למעשה השתקפות של המספרים ה"רגילים" (טבעיים עד ממשיים)

 

[Alpaka in Cambodia]

וואלה.

מה שבטוח, שאני כבר מחכה להגיע לאוניברסיטה ללמוד קצת מתמטיקה. ובינתיים, אסתפק במה שיש למתמטיקה הפסיכומטרית להציע

 

[הגינגי]

השאלה שלך מאוד מסובכת

באופן כללי אני חושב שהתשובה ניתנה כאן. אבל הייתי רוצה לחדד לך נקודה מסוימת שנאי חושב שתוכל לעזור לך בהבנה. השאלה ששאלת יכולה להישאל על כל קבוצת מספרים שכוללת בתוכה קבוצה קטנה יותר ניתן סקירה היסטורית כפי שהוסברה לי על המספרים: הטבעיים כביכול הם כביכול הכי בסיסיים, הקבוצה הכי קטנה מבחינה מתטמית הם מוגדרים אינדוקטיבית משמע X שייך לטבעיים אם X-1 שייך לטבעיים ו1 שייך לטבעיים. (בקשר למספר אפס הדיון בו כרגע יהיה ארוך ומייגע, נניח כי הוא נכלל בקבוצת הטבעיים). השלמים באו אחר כך ונתנו כאן הסבר כביכול למה, מבחינה מתמטית השלמים כבר מהווים "חוג" משמע לכל איבר בהם יש נגדי, איבר מאפס. הרציונלים כבר מהווים שדה משמע בנוסף לנגדי כבר יש לנו גם הופכי משמע לכל X יש איבר שמכפלץם שווה ל1. תכונה מעניינת של הרציונלים היא הצפיפות: בין כל שני רציונלים יש אינסוף רציונלים אחרים. בממשיים כבר אין את הפשטות של הרציונלים (שניתנים לייצוג על ידי היחס בין שני שלמים) אבל זה כבר שדה שלם. משמע לכל קבוצה של ממשיים יש חסם עליון ששייך לממשיים. ולבסוף הגיעו המרוכבים, שניתן לייצגם על ידי חלק ממשי וחלק מדומה, הם גם צפופים גם שלמים ומהווים שדה אבל הרווחנו את המשפט היסודי של האלגברה, לכן באלגברה השימוש במרוכבים הוא נפוץ ביותר החל משלבים ראשוניים. אבל לכל דבר טוב יש גם דבר רע, במרוכבים הפסדנו את היחס סדר שהיה לנו מתלכתחילה (לפעולות גדול מ וקטן מ אין כל משמעות במספרים מרוכבים), לכן אני חושב קשה לנו קונספטואלית "להבין" אותם. דרך אגב קיימות קבוצות יותר רחבות מהמרוכבים שנותנים פתרונות לעוד בעיות. בתכלס אף אחת מהקבוצת הנ"ל לא באמת קיימת זה פשוט עניין של הגדרה ואנו משתמשים בקבוצה הכי נוחה עבורנו מתמטית על מנת לפתור בעיות שונות. פיזיקה אינה מציבה אמיתות אלא מודלים, שיטות עבודה על מנת לפתור, ועם הזמן המודלים הללו משתנים. במודלים מסוימים נוח מאוד להשתמש בקבוצות שמתוארות למעלה. דוגמא לשימוש במספרים מררכבים היא למשל בחישוב עכבות בבעיות פשוטות בזרם חליפין (חומר של תיכון). מבלי להיכנס לפרטרים פותרים משוואה כלשהי ומקבלים פתרונות מרוכבים החלק הממשי מייצג נתון מסוים, למשל מתח על נגד או סליל, ואילו החלק המדומה הוא העכבה, השינוי בפאזה של המתח לעומת קצב השינוי במתח על מקור המתח. ניתן לפתור בעיה כזאת גם ללא שימוש במספרים מרוכבים אבל פעולה זו הייתה מסבכת אותנו מאוד. האם המספרים המרוכבים קיימים? זה פשוט עניין של הגדרה, מה שבטוח הוא שהם מאוד שימושיים.