שאלה

[דנה^^]

שאלה

או יותר נכון, פרדוקס שהועלה בפורום לימודים הנה קישור גם למקום ממנו הוא נלקח. השאלה שלי היא בעצם על המקרה שבו אנחנו משאיפים את N לאינסוף. מצד אחד, המדרגות הן בעצם כבר האלכסון, לכן אורכן שורש 2. מצד שני.. בכל מקרה סכום כל המדרגות נשאר 2. אז.. מה קורה פה? אשמח לקבל הסברים בעניין תודה!

 

[קפטן ברני]

תשובה

בעצם ניתן לכתוב את אורך ה"מדרגות" עבור כל n, ככה:

2*n*1/n​

כש-n הוא אינסוף, אז 1/n אפס (אני מודע לבעייתיות בטענה הזו) והביטוי "שתיים, כפול אינסוף, כפול אפס" הוא ביטוי לא חוקי.

 

[טלמון סילבר]

תפוז המנוול הזה מחק לי הסבר ארוך

ומפורט. בקיצור: אין פרדוקס. גם אם סדרת גרמי-המדרגות שואפת לאלכסון (במובן שבכל נקודת x קבועה הגבול יהיה על האלכסון), אין זאת אומרת שפונקציה המוגדרת עבור הקירובים (אורך הגרף) חייבת לשאוף אל הערך שלה עבור האלכסון הגבולי. מבחינה "פילוסופית", האלכסון "המתקבל בסופו של דבר" הוא לא ישר רגיל, כי "המשקל הסגולי שלו, החומר הדחוס בו" גדול פי שורש 2 מאלכסון רגיל בדיוק באותו מקום, וגם זאת לא בחלוקה שווה, אלא בחלוקה משונה ביותר! ישנם אפילו מקומות בהם כמות החומר אפילו דלילה יותר. "פרדוקס דומה: מרכז הכובד של משולש שווה-שוקיים, הנמצאת כידוע בשליש הגובה. עכשיו נגיד שהגובה של המשולש נשאר ללא שינוי, אך זווית הראש שואפת ל-0. "מתקבל" באופן זה קטע, שמרכז הכובד שלו נמצא לא באמצע, אלא בשליש! כאן הסיבה פשוטה יותר: המסה אינה מרוכזת בקטע הגבולי במידה שווה: כמה שיותר למטה, יש ריכוז גבוה יותר של מסה, ואכן מרכז הכובד נמצא בשליש הקטע. עם המדרגות חלוקת "האורך הדחוס" מורכבת יותר.

 

[ררדד]

שאלה קטנה

מדוע החלוקה תהיה משונה ביותר כך שבמקומות מסויימים כמות החומר תהיה דלילה יותר ובחלק דחוסה יותר? כשאר המדרגות ישאפו לאלכסון כמות החומר לא תחולק באופן שווה בכל נקודה על ה"אלכסון" שנוצר? אגב אהבתי את הדוגמא עם המשולש! לא הכרתי אותה.

 

[טלמון סילבר]

האמת - זה ניחוש בלבד, ואולי שגוי.

ניקח שלב ביניים כלשהו ונטיל מייד את גרם-המדרגות על האלכסון. במקום בו היתה מדרגה אחת ירדו על שורש 2 של קטע אלכסון, 1 בלבד של אורך המדרגה, פלוס 1 לתוך נקודה אחת בלבד של האלכסון. האמת, לא חשבתי על "הפילוסופיה" של זה "עד הסוף".

 

[ררדד]

אולי אתה צודק

אני במבט ראשון ראיתי שלמעשה מעבירים קו דמיוני שעובר בדיוק במרכז המדרגות (כלומר לא נוגע באף אחד מקודקודי המדרגות), ואז דוחסים לכיוון הקו את כל הנקודות ככה שיוצאת צורה אחידה. אבל בשיטה של הטלת המדרגות, הקו באמת יוצא עם נקודות צפופות יותר ולידן נקודות דלילות יותר.

 

[Palass]

כן זה קורה עכשיו הרבה

בזמן האחרון אני משתדלת לזכור להעתיק את ההודעה כל פעם לפני שאני שולחת אותה..

 

[דנה^^]

וואי זה ממש מעניין!

<ומצטערת שלא חזרתי אליכם קודם..) רק עוד שאלה בקשר למשולש עם הזוית ששווה ל0, כי דווקא זה לא מובן לי כל כך.. בעצם כפי שנאי רואה את זה, אין הבדל בין משולש שזוית הראש שלו שווה ל0 (3 ישרים מתלכדים) לבין קו ישר רגיל. (ואולי פה הטעות שלי?) אם כך אז איך פעם אחת מרכז הכובד הוא באמצע ופעם אחרת הוא בשליש? דבר נוסף שלא הכי מובן לי בדוגמא הזו הוא בקשר למסה. את הדוגמא של המדרגות הבנתי אחרי שקראתי את התשובה שנתת לררדד (גם אני דמיינתי שהאלכסון חוצה את המדרגות באמצע, וכך החלוקה שווה). אבל כשמדובר בקו ישר (שזה מה שהמשולש ה0 זויתי בשבילי..) איך המסה מרוכזת במידות שונות בקטעים שונים? תודה רבה על כל ההסברים והתשובות. דווקא התשובה של ברני נראתה לי נחמדה אבל אם כבר התחלנו להסתבך עם פילוסופיה..

 

[ררדד]

נסיון להסבר

מרכז הכובד של משולש ש"ש נמצא על הגובה (או תיכון/חוצי זוית זה הכל אותו דבר במש"ש) עכשיו הוא לא נמצא במרכז הגובה אלא בשליש הגובה מהבסיס-כי ככל שמתקרבים לבסיס יש יותר "חומר". אם ניקח רק את הגובה (הישר עצמו) אז מרכז הכובד שלו יהיה באמצע בדיוק. עכשיו נשאלת השאלה איפה יהיה מרכז הכובד אם ניקח מש"ש שזוית הראש שלו שואפת ל0, מכיוון שהוא מש"ש הרי שמרכז הכובד יהיה בשליש מהבסיס, אך מכיוון שזוית הראש שואפת ל0, הגובה וצלעות המש"ש מתלכדים לישר אחד- ומרכז הכובד של ישר נמצא בדיוק באמצע שלו. מקווה שהסברתי ברור

 

[דנה^^]

אממ

את הפרדוקס הסברת אחלה, הבעייה שלי היא עם הפיתרון שלו כלומר- במקרה של זוית של 0 מעלות, איפה אם כך ימצא מרכז הכובד? תודה

 

[Fingertip]

הפתרון הוא...

תהי Sn סדרת צורות במישור. נתאים לכל צורה את מרכז הכובד שלה, (W(Sn. הפתרון לסתירה הוא שאף אחד לא הוכיח (וליתר דיוק זו דוגמה נגדית) שהפונקציה W רציפה. כלומר לא הוכח כי אם Sn->S אז (W(Sn)->W(S. וכמו שאמרתי, הדוגמה הזו מראה שהפונקציה הנ"ל אינה רציפה... מקווה שעזרתי במשהו, אהד.

 

[דנה^^]

לא בטוחה שהבנתי..

אם הפונקציה אינה רציפה, מה זה בעצם אומר על הדוגמא שלנו? זה בעצם אומר במילים אחרות שאין לה פיתרון? ותודה!!

 

[PmodQ]

פרדוקס ../images/Emo35.gif

סילחו על הבורות, אבל מי אמר שהפרדוקס אמיתי? הראיה היחידה לקיום פרדוקס היא ראיה גאומטרית (וזו אנחנו יודעים לא ראיה כלל) מלבד זאת, נראה לי שאם נעדן את החלוקה יותר ויותר נקבל קו שאורכו אכן 2 והוא יחרוג מגבולות הריבוע ולכן אני טוען שאין כאן למעשה פרודקס אותו יש להסביר

 

[דנה^^]

שזו היתה גם תשובתו של טלמון

כנראה שהשועל מהנסיך הקטן אכן צדק

 

[טלמון סילבר]

החתימה נראית לי מוכרת מאיזשהו מקום

 

[פיתה רחבה]

מכאן

קצה האצבע

 

[טלמון סילבר]

לזה גם אני התכוונתי ../images/Emo13.gif

 

[פיתה רחבה]

אהה, חשבתי שבאמת לא ידעת ../images/Emo9.gif