שאלה

[dubby25]

שאלה

בס"ד שלום יצא לקרוא כעת ספר על ההיסטוריה של המתמטיקה וכתוב שם משהו שיש לי שאלה עליו: כתוב שהיוונים ניסו הרבה זמן לרבע את העיגול, זאת אומרת, למצוא ריבוע ששווה בשטחו בדיוק למעגל. מהרגע שגילו ש-Pi הוא מספר לא רציונלי, הבינו שלא ניתן לרבע את המעגל. השאלה שלי: מה דעתכם על מעגל שרדיוסו

1/(Pi^(1/2))​

שטחו של מעגל זה הוא 1 והוא שוה לשטח ריבוע שאורך צלעו הוא 1. איך זה יכול להיות תודה מראש

 

[yos1293]

אולי..

הכוונה הייתה למצוא מעגל שהרדיוס שלו רציונלי?

 

[ילדת ירח]

קישור קשור ולא קשור

בס"ד זה בדיוק רץ עכשיו במדע פופולרי <בפורום> אגב, לא הכרתי את ה"חידה" הזו קודם ואני לא כ"כ מבינה את הכללים אז אני לא אוכל לעזור אבל אשמח אם מישהו יסביר..

 

[Aegon]

כמה הבהרות

קודם כל, ננסח את הבעיה נכון: הכוונה ב-"לרבע את המעגל" היא לבנות )לא למצוא( בעזרת סרגל לא מסומן ומחוגה ריבוע ששטחו שווה לשטח מעגל נתון, למשל מעגל בעל רדיוס 1 ששטחו פי. הבעיה שקולה ליכולת לבנות קטע שאורכו שורש פי )שישמש כצלע הריבוע המבוקש( וברגע שהוכיחו כי פי הוא טרנצנדנטי )לא אי-רציונלי( הבינו שלא ניתן לעשות זאת כי קטעים שניתנים לבניה, אורכם אלגברי שלא כמו שורש פי. שוב, הבעיה היא לא למצוא ריבוע ששטחו שווה לשטח מעגל נתון )זה קל, ריבוע שצלעו שורש פי( אלא לבנות אותו בעזרת חוקי בניה של מסוימים בעזרת סרגל לא מסומן ומחוגה )מתחילים עם 2 נקודות במרחק 1, שיקראו נקודות בנויות. החוקים הם: דרך 2 נקודות בנויות אפשר להעביר ישר, אפשר להעביר עיגול שמרכזו הוא אחת מהנקודות ורדיוסו הוא הקטע המחבר את המרכז לנקודה השניה, כל נקודה שמתקבלת כחיתוך של 2 ישרים, ישר ועיגול או 2 עיגולים נחשבת כנקודה שנבנתה(. )לדוגמא לבניה, ראה http://home.wanadoo.nl/zefdamen/Constructions/perpendicular/perpendicular_en.htm( הדוגמא שהבאת היא דוגמא למצב הפוך, עיגול ששטחו שווה לשטח ריבוע נתון. היא לא סותרת כלום כי היא קודם כל המצב ההפוך )"לעגל את הריבוע"(, ובכל מקרה אתה לא יכול לבנות את העיגול הזה בעזרת סרגל ומחוגה כי שוב הרדיוס איננו מספר אלגברי אלא טרנצנדנטי.

 

[dubby25]

תודה רבה

 

[Doctor Evil]

נצל"ש

יש לי בעיה בקשר לפונקציות טריגונומטריות. אני פשוט לא מסוגל להבין איך מגיעים לגרף הזה. קודם כל נתחיל בעובדה ש-sin ושאר הפונקציות הטריגונומטריות מתייחסות למעלות- סינוס של X מעלות. שמשרטטים גרף של פונקציה טריגונומטרית לא משתמשים במעלות אלא במשהו שנקרא Radians. לא הבנתי איך ולמה משתמשים בהם ואיך מגיעים לצורה של הגרף (שצירפתי). אני מקווה שהסברתי את עצמי כראוי וירדתם לסוף דעתי. תודה למי שמוכן להסביר.

 

[Fingertip]

רדיאנים

ובכן, הקף מעגל ברדיוס R הוא 2PiR (כאשר Pi הוא קבוע מתמטי, שערכו בדיוק של 2 ספרות אחרי הנקודה הוא 3.14). בציור 1 אפשר לראות מעגל ברדיוס R, ומימין אפשר לראות מה יקרה אם ניקח את הקף המעגל ונמתח אותו כקו ישר. בציור 2 אפשר לראות אותו דבר, רק עם מעגל ברדיוס 1. שם הקף המעגל הוא 2Pi. כעת, ניתן למדוד זוית מסויימת a באמצעות הקף המעגל ב-2. כיצד? נבנה את הזוית הזו במרכז המעגל, ונמדוד את אורך הקשת שנשענת עליה. לצורת המדידה הזו קוראים "ראדיאנים". בציור, גודל הזוית הוא "אלפא רדיאנים". שימו לב שבצורה כזו ניתן למדוד כל זוית (בעקרון): מקיפים את קדקוד הזוית במעגל ברדיוס 1, בודקים איפה הוא חותך את קרני הזוית ומחשבים את אורך הקשת הזו. ולבסוף, מתקיימת הזהות שבאיור 3 שממירה בין x רדיאנים לאלפא מעלות. אפשר לנמק אותה אינטואיטיבית כך: כל זוית אפשר לתאר בשתי דרכים: במעלות וברדיאנים. מכיוון שמעגל שלם זה 2Pi ראדיאנים ו360 מעלות, ומכיוון שהפיזור אחיד, הרי שהזוית מתייחסת כלפי המעגל באותה צורה כמו שהגודל שלה במעלות מתייחס כלפי 360 וכמו שהגודל שלה ברדיאנים מתייחס כלפי 2Pi. באמצעות הזהות הזו ניתן להמיר בין מעלות ורדיאנים בקלות יחסית. מקווה שעזרתי, אהד.

 

[Doctor Evil]

תודה רבה על התשובה המפורטת

נפל לי האסימון סוף סוף.

 

[איייייל]

טוב,

בעיקרון, הפונקציות הטריגונומטריות לא מתייחסות למעלות! למשל, סינוס של x מוגדר כיחס בין הניצב שמול הזוית לבין היתר במשולש ישר זוית, כאשר x הוא ערך הזוית ברדיאנים (ולא במעלות). ערך של זוית ברדיאנים מוגדר כיחס בין אורך הקשת המוגדרת על ידי הזוית לבין הרדיוס (למשל, עבור זוית ישרה ("90 מעלות") אורך הקשת הוא רבע מהיקף המעגל, כלומר pi*R/2, ולכן הזוית ברדיאנים היא pi/2). אם y הוא ערך הזוית במעלות ו x הוא ערך הזוית ברדיאנים אז x=y*pi/180 (למשל אם y=90 אז x=pi/2). לגבי הצורה של הגרף של (sin(x - פשוט צריך לזכור שהוא נראה כמו "גל", אשר מתאפס בכפולות שלמות של pi, מקבל את הערך 1 ב pi/2 ואת הערך 1- ב 3pi/2. אם אתה רוצה שהשרטוט שלך יהיה יותר מדוייק, אתה יכול לזכור ערכים נוספים (למשל ש sin(pi/6)=0.5). כנ"ל לגבי הגרפים של שאר הפונקציות הטריגונומטריות...

 

[איייייל]

לא שמתי לב שכבר ענו לך לפני...

 

[Doctor Evil]

תודה גם לך