שאלה

[basenew]

שאלה

איך פותרים את השאלה המצורפת?

 

[הפרבולה]

תוכיח ש r = ( a + b - c ) / 2

 

[basenew]

הבנתי מהפתרון

שמדובר בסכומי משולשים....
עדיין לא הבנתי את הדרך?

 

[ןן גיל ןן]

אפשר ככה:

מהשוואת שטחים
ab/2 = (a+b+c)r/2

==> r= ab/(a+b+c)

מכיוון ש- (a,b,c) שלשה פיתגורית אפשר לכתוב
a=x^2-y^2, b=2xy, c=x^2+y^2
עבור x,y שלמים.

מציבים ורואים ש-r שלם.

 

[עריסטו]

לא צריך את ההצגה הפרמטרית

(אולי זה משהו שהפותר לא יכול להסתמך עליו). אפשר ככה:
r =
2ab / 2(a+b+c) =
[(a+b)^2-(a^2+b^2)] / 2(a+b+c) =
[(a+b)^2-c^2] / 2(a+b+c) =
[(a+b+c)(a+b-c)] / 2(a+b+c) =
(a+b-c) / 2
ממשפט פיתגורס נובע ש- a+b ו-c הם בעלי אותה זוגיות, וסיימנו.
אפשר גם להראות ש - r=(a+b-c)/2 בלי חישובי שטחים ובלי משפט פיתגורס: הניצב a מתחלק ע"י נקודת ההשקה לשני חלקים שאורכם r ו- a-r, הניצב b מתחלק לשני חלקים שאורכם r ו- b-r, והיתר מתחלק לשני חלקים שאורכם a-r ו- b-r. לכן
c = a-r+b-r = a+b-2r
r = (a+b-c)/2

 

[ןן גיל ןן]

אחלה

 

[הפרבולה]

עוד פתרון

השטח הירוק שווה לשטח הצהוב וסכומם שווה ל c*r
השטח האדום שוה ל r^2
שטח המשולש כולו שווה ל a*b/2
ולכן
r^2+c*r -a*b/2 =0
זו משוואה ריבועית עם הנעלם r שהפתרון החיובי שלה הוא ( יש להשתמש גם במשפט פיתגורס ש a^2+b^2=c^2)
r = (a+b-c)/2

כיוון ש a b c זה שלשה פיתגורית אז או כולם זוגיים או רק 1 מהם זוגי ולכן a+b-c זוגי -> r שלם.