שאלה

[Hudson]

שאלה

האם יש משהו מיוחד שצריך לדעת כאשר נגשים לפתור מד"ר שאחד הפתרונות הפרטיים שלה מכיל פונק´ דלטא ?

 

[איגור קרסיק]

.......

מעניין אותי מי היא פונקצית דלתא (אני מכיר גאמא). בכול מקרה, אם אתה יכול אז תרשום פה את המד"ר המסוים.

 

[elikr]

פונקציית דלתא

היא פונקציה שפיזיקאים אוהבים, ומתמטיקאים הרבה פחות. פונקציית דלתא הוכנסה לפיזיקה התיאורטית ע"י דיראק ורק כשלושים שנה אח"כ המתמטיקאים "הסכימו עם קיומה". פונקציית דלתא מוגדרת כך : זו פונקציה שהיא אפס לכל X שאיננו אפס, והיא אינסוף עבור X = 0, כך שהאינטגרל של פונקציה זו על פני כל ציר הממשיים הוא 1 ! (אני מקווה כי ברור למה התכוונתי). הפיזיקאים אוהבים פונקציה זו מפני שהיא מתארת את צפיפות המטען החשמלי עבור מטען נקודתי, או צפיפות המסה לחלקיק נקודתי, וכו´. יש הרבה הצגות שונות של פונקציית דלתא, ומשתמשים בהם לפי הקונטקסט הפיזיקלי. לפי מה שאני יודע, בעיני המתמטיקאים פונקציית דלתא היא לא בדיוק פונקציה, אלה פונקציונאל לינארי במרחב הילברט (משהו כזה...) שמקיים כל מיני דברים, אבל עזבו - בפיזיקה זו הייתה ותישאר פונקציה (כי ככה בא לנו!)

 

[atheist22]

בהנדסה זאת _ה_פונקציה

בלימודי הנדסת חשמל זאת הפונקציה החשובה ביותר ואם כל הפונקציות. פוגשים בה בכל מקום וכל הזמן. אני זוכר שמישהי שלמדה מדעי המחשב שאלה אותי משהו על התמרת פוריה. אמרתי לה שהתמרת פוריה של סינוס זה סכום שתי פונקציות דלתא. כשהסתבר שהיא לא ידעה מה זה פונקציית דלתא, הייתי בהלם(אגב לפונקציה קוראים גם פונקציית הלם). אנחנו פשוט עבדנו עם הפונקציה כל הזמן, וזה כבר נראה מוזר לפגוש אדם שלא שמע על פונקציית דלתא. כמובן שזה זה לא באמת כזה מוזר. בהנדסת חשמל פשוט התמקדנו בצדדים מסויימים של מתמטיקה ולא באחרים. המון חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי. המון משוואות דיפרנציאליות רגילות וחלקיות. המון התמרות פוריה וכל מה שקשור בכך, וגם לא מעט הסתברות. לעמות זאת, אינדוקציה, מה זה בכלל?

 

[elikr]

כפי שציינתי קודם ...

זו פונקציה מאוד שימושית בפיזיקה/הנדסה. המתמטיקאים "מפחדים" ממנה, רבים מהסטודנטים למתמטיקה משכנעים אותי שפונקציה כזו אסור שתתקיים וכו´, ואף-על=פי-כן - אנחנו משתמשים בה כל הזמן. למשל, נירמול פונקציית הגל של שרדינגר של חלקיק חופשי נעשה ע"י פונקציית דלתא של התנע של החלקיק.

 

[Hudson]

ומה עם השאלה למי שלא מפחד ?. . .

 

[atheist22]

לא נראה לי שיש משהו מיוחד

בד"כ אבל אם יש לך פונקציית דלתא במשוואה דיפרנציאלית, אז הדבר הראשון שצריך לנסות זה לבצע התמרת לפלס או פורייה על המשוואה. התמרת לפלס/פוריה של פונקציית דלתא זה 1. לכן זה מפשט את הדברים.

 

[איגור קרסיק]

!!!

לפי התיאור שלך זה לא פונקציה אלא קישקוש חסר משמעות. מה משמעות של "והיא אינסוף עבור X = 0, כך שהאינטגרל של פונקציה זו על פני כל ציר הממשיים הוא 1 "?

 

[elikr]

חבריי המתמטיקאים הגיבו בדיוק כך...

אני ציינתי קודם, שמבחינת המתמטיקה זה לא פונקציה, אלא פונקציונל. יחד עם זאת, הפיזיקאים והמהנדסים רואים בזה פונקציה לכל דבר. אני, כפיזיקאי, לא יודע להוכיח לך דברים, ואני הבנתי שיש למתמטיקאים בעיה לעשות אינטגרל על פונקציה שמקבלת ערכים שאינם מספרים ממשיים, אלא "שייכים ל- R גג". אני לא מבין בדברים האלה, בשבילי דלתא היא אחלה פונקציה, ואני רק יכול לתת לך דוגמאות שייצרו אצלך אינטואיציה. ראה הקובץ המצורף

 

[elikr]

נכון שהשקעתי? הא, איך אני ?

 

[איגור קרסיק]

כל הכבוד.

מעניין אם יש פונקציות אלפא, בתא ושאר האלף בית היווני...

 

[alon14]

כן

יש את שתיהן. את אלפא אני לא זוכר (ב-mathworld אפשר לחפש), אבל ביתא היא:

Integral from 0 to 1 of (x^t)[(1-x)^s]dx​

כאשר המשתנים הם t ו-s (בניגוד לגמא, יש שניים). פונקצית ביתא לבינום היא כמו גמא לעצרת, כיוון ש:

B(s,t) = G(s)*G(t)/G(s+t)​

למרות שכמובן ביתא היא ההופכי של הבינום. את ההוכחה המדוייקת ליחס זה בין B ו-G ניתן למצוא, איך לא, ב-mathworld. פונקציות נוספות ששמעתי עליהן באלף-בית היווני: פונקצית זטה - סכום (לא אינטגרל) מאחד עד אינסוף של i^z כאשר i הוא האינדקס ו-z המשתנה (הוא בד"כ מקבל ערכים מרוכבים). פונקצית פי - כמובן, מכפלה דיסקרטית. פונקצית סיגמה - כמובן, סכום דיסקרטי.