שאלה....

[Halfbaked]

אבל מה אם גם אחרי פעמיים מתקבל אפס?

קח כדוגמה את הפונקציות x^4, x^4, x^5- בנקודה 0.

 

[איגור קרסיק]

במקרה זה

יש משפט מאוד נחמד: נניח שפונקציה גזירה n+1 פעמים בנקודה a. אם n הנגזרות שלה ב-a שוות לאפס והנגזרת ה-n+1 שונה מאפס, אז: א. אם n+1 אי זוגי, אז אין לפונקציה נקודת קיצון. ב. אם n+1 זוגי, אז יש לפונקציה נקודת קיצון: אם ערך הנגזרת הn+1 גדול מאפס אז יש מינימום מקומי, אחרת יש לפונקציה מקסיומום מקומי.

 

[בולי ים]

שאלה....

אם אני גוזר פונקציה של איקס משווה לאפס ולאחר מכן מציב בפונקציה את הערך של איקס שהתקבל, הפונקציה תהיה מינימלית או מקסימלית ? איך יודעים את זה ?

 

[אוילר]

הדוגמא הקטלנית.....

כפי שציינתי קודם המשפט על הנגזרות מסדר גבוה לא תמיד יושיע.... והדוגמא לכך היא f(x)={ e^(-1/x^2) x<>0 f(x)={ 0 x=0 אז ברור שלפונק´ יש מינימום באפס...אבל f´(0)=f´´(0)=f´´´(0)=....=f(0)=0 והמשפט הזה לא יכריע לא לכאן ולא לכאן

 

[אוילר]

תשובה....

בנק´ יכול להיות או מינימום או מקסימום או לא זה ולא זה יש לך שתי דרכים לבדוק מה טיבה של הנקודה: הדרך ה"סקסית" אבל הלא כללית היא לגזור את הפונק´ שוב ושוב עד שתקבל שהנגזרת ה Nית בנקודה שונה מאפס. את N הזה הוא זוגי אז אם ערך הנגזרת הNית בנקודה שלילי היא מקסימום. אם הוא חיובי היא מינימום.... הדרך הכללית היא לבדוק את הנגזרות בסביבה של הנקודה....אם משמאל בן שליליות ומימין חיוביות אז זו מינימום אם הפוך מקסימום אם הן שומרות על הסימן היא לא זה ולא זה..........