שאלה תמוהה

[featherhead]

שאלה תמוהה

(או שאולי אתם רגילים לשאלות כאלו, אני לא ממש יודע 19026,20691,22469,24364,26380 מישהו יוכל לענות לי מהי החוקיות (ואם יש אחת כזו) של הסדרה הנ''ל? תודה מראש!

 

[rainbow16]

הנה החוקיות

יש את הסדרה:

19026,20691,22469,24364,26380​

סדרת ההפרשים הראשונה היא:

1665,1778,1895,2016​

והשנייה:

113,117,121​

ככה שבעצם הסדרה השנייה היא חשבונית... וככה אפשר לגלות את שאר איברי הסדרה. [סליחה שהתעכבתי עם התשובה... צץ משהו פתאום

]

 

[IsraeliSecretToilets]

באופן לא מפתיע..

החוקיות יכולה להיות מה שבא לי

בתמונה המצורפת מופיעה נוסחת איבר כללי שנותנת בדיוק את איברי הסדרה שכתבת עבור n=1,2,3,4,5. עבור n=6 היא נותנת 0. ולכן לפיה האיבר הבא הוא אפס. למעשה, יכלתי לבנות נוסחת איבר כללי כזאת שתתאים לסדרה שלך עבור n מ-1 עד 5, ועובר n=6 תיתן איזה מספר שבא לי. בכוונה בניתי כזאת שתיתן אפס

 

[IsraeliSecretToilets]

שכחתי את הנוסחה עצמה ../images/Emo12.gif

 

[rainbow16]

חח.... ברור.... אבל למה לסבך? ../images/Emo13.gif

וד"א, יותר קל היה פשוט לכתוב ככה:

An=n+(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)-126​

ואז זה עדיין 1,2,3,4,5,0

 

[rainbow16]

אופס. טעיתי. לא משנה.

לא אמרתי כלום

 

[גיל14]

איך בנית אותה?

 

[rainbow16]

יש דרך כלשהי לבנות...

פולינום מכל מספר נקודות שתביא.... כן יש לך 6 נקודות, והוא פשוט בנה פולינום דרך זה. פולינום אינטרפולציה קוראים לזה, אם אני לא טועה.... הוא הסביר איך עושים את זה (ממש על קצה המזלג) באיזשהו פורום, אבל זה דיי מסובך ליישם. לדעתי, פשוט יש לו תוכנה שהוא בנה

 

[גיל14]

הסתכלתי במת'וורלד

נחמד מאוד!

 

[גיל14]

לגבי התוכנה - הוא לא היה צריך

יש את זה כבר בDerive, ואם יש את זה בDerive, מן הסתם יש את זה גם בMathematica ובכל התוכנות החזקות האחרות.

 

[IsraeliSecretToilets]

../images/Emo45.gif

 

[Moridin]

מה רע ב:

y=A(x-x1)(x-x2)(x-x3)...(x-xn) ?

 

[rainbow16]

איך אפשר?

עם השיטה שאתה הבאת אפשר ליצור פולינום שעובר דרך נקודות מסויימות על ציר הx! אני מדבר פולינום שעובר דרך כל נקודה, לא רק על ציר הx. בכל מקרה, אם יש n נקודות אפשר ליצור n משוואות בn נעלמים (מפולינום ממעלה n-1), לפתור את המשוואות האלה וזהו...

 

[Moridin]

אכן

 

[hitchkok]

במקרה לא הצלחתי להירדם,

אז חשבתי על זה קצת, וזה מה שיצא. נבנה את הפונקציה הפולינומיאלית f ככה:

f(x)=a1(x-2)(x-3)(x-4)(x-5).....(x-n)((x-n+1))+a2(x-1)(x-3)(x-4)......(x-n)(x-(n+1))+a3(x-1)(x-2)(x-4).......(x-n)(x-(n+1))+..........+an(x-1)(x-2)......(x-(n-1))(x-(n+1))+b(x-1)(x-2)(x-3)......(x-n)​

b הוא שרירותי ואנחנו יכולים לבחור בעזרתו איזה ערך המספר הבא בסדרה יהיה. אחרי שבחרנו את המספר הבא, מוצאים את b ככה:n+1 בביטוי (x-1)(x-2)(x-3)......(x-n) ומחלקים את הערך שבחרנו התוצאה המתקבלת. כעת נותר אך ורק לבחור את המקדמים של a1,a2,.....an כדי שיתאימו למספרים הנתונים. עושים זאת באותה שיטה שבחרנו את b, אך עבור ak מציבים בביטוי שבו כופלים את ak את הערך k ומחלקים את הערך הנתון בתוצאה. מה נשאר? אך ורק לפתוח סוגריים ולהדהים את כולם. למה זה פועל? אני מניח שדי ברור לכולכם, שעבור כל k<n+2 מתאפסים כל הביטויים חוץ מהביטוי שהמקדם שלו הוא ak, ואז יש רק איבר אחד שמשפיע על התוצאה, ואותו בחרנו כמו שאנחנו רוצים.