שאלה שמטרידה אותי...

[the predator]

שאלה שמטרידה אותי...

האם יש הגדרה לe? המורה שלי מסכימה רק להגיד שזה מספר אי רציונלי בין 2 ל3 אבל כמו שידוע שפיי הוא היחס בין ההיקף לקוטר (או משהו כזה, אני לא בטוח כל כך), אז אולי יש לe גם הגדרה...

 

[1ca1]

לe יש הגדרה

הוא מוגדר ככה

e=lim(1+1/n)^n כאשר n->אינסוף​

 

[yatir]

או...

e=1+1/2!+1/3!+1/4!+...​

 

[Fingertip]

יש עוד כמה!

למשל:

f(1)​

כאשר f מקיימת:

f´=f f(0)=1​

או למשל,

exp(1)​

כאשר exp היא הפונקציה ההפוכה ל-ln. אהד.

 

[אורן שץ]

הממ... הרשה לי לחלוק על דברך

גם

f(x) = a*(e^x) (a != 0)​

מקיימת את התנאים שציינת, אך הערך המתקבל ע"י הצבת 1 אינו e אלא a*e. אני חושב שההגדרה ההפוכה ל-ln היא היחידה המוצלחת. כל השאר שראיתי עד עכשיו מוכחות למעשה בעזרתה.

 

[אורן שץ]

תתעלם מההודעה למעלה, כמובן שטעיתי

אבל אני עדיין עומד מאחורי המשפט השני-שלישי.

 

[Fingertip]

הסיבה שבחרו דווקא בהגדרות הללו היא

שהן דו כיווניות. כלומר, אפשר להוכיח ש: הפונקציה ההפוכה ל-ln היא exp => exp היא הפונקציה היחידה שמקיימת:

f´=f f(0)=1​

=> לכל x ממשי הטור

1+x+x^2/2! + x^3/3! +...​

מתכנס וסכומו הוא exp => exp היא הפונקציה הרציפה היחידה שמקיימת exp(x) = e^x כאשר:

e=lim (1+1/n)^n​

כאשר n שואף לאינסוף. => הפונקציה ההפוכה ל-ln היא exp כלומר, כל ההגדרות הנ"ל שקולות וניתן להגדיר את exp איך שרוצים ולהוכיח מההגדרה הזו את שאר ההגדרות... אהד.

 

[אורן שץ]

תוכיח ש...

הגבול בהגדרה האחרונה שלך ל-e קיים, תגדיר (היטב, עדיף בלי התכנסויות של טורים, כי אני אכעס) e^x לכל x ממשי, ותראה למה הנגזרת של הפונקציה ההפוכה לפונקציה (מותר להגדיר התכנסות של טור בתור פונקציה?) exp שהגדרת היא 1 חלקי x, ואז אני אוריד את הכובע.

 

[Fingertip]

יש לך Word XP?

כי אחרת הקובץ נהיה גדול מדי... בכל מקרה, ההוכחה קצת ארוכה, אבל הנה התקציר: קודם מגדירים את exp. מראים שהיא הפונקציה ההפוכה לאסכמת הלא מסויימת מ-1 עד x של אחד חלקי x. מ.ש.ל.

(לא מצאתי כובע) אהד.

 

[Fingertip]

תיקון קטן להוכחה...

המשפט שהוכחנו, מצביע רק על יחידות הפונקציה, אבל הוא לא מוכיח את קיומה. מצד שני, אפשר להגדיר:

fn(x)=(1+x/n)^n​

ולהוכיח שזו פונקציה רציפה (באמצעות משפט דיני). אהד.

 

[the predator]

תודה