שאלה שאלתית

[xflil]

שאלה שאלתית ../images/Emo13.gif

אנחנו בכיתה לומדים פונקציות.... וכמובן המורה נאלצה להסברי למתקשים שבנינו ששני קווים מקבילים לעולם לא יפגשו

ואז זרקה הערה, ששני מקבילים כן יכולים להפגש (?!) אנחנו בפה פתוח שואלים איך הגיעה למסקנה זו (לא ממש היא הגיעה, אבל בכל מקרה) ואז שאלה אותנו מורתינו מה עינינו רואות כאשר הן מסתכלות על פסי רכבת אל האופק, וכמובן, אנו רואים ששני פסי הרכבת מתחברים..... הוסיפה ואמרה שעל הדברים הללו התאוריה הזאת מבוססת והמשיכה בשיעור, ואני שואל שני מקבילים שנפגשים?

 

[itamartal]

הגדרה חדשה

אם אני לא טועה, מתישהו ב500 שנים האחרונות, הגדירו שוב ושוב מחדש את המושג קווים מקבילים, כך שלא תיווצר הסתירה הזאת, אבל אני לא זוכר בדיוק מהי ההגדרה.

 

[xflil]

אבל איפה הסתירה?

מדובר על הטעות ויזואלית, זה הכל, אז תסבירו לי בבקשה איפה ההגדרה המטמתית

תודה

 

[Amit Gal]

אז ככה....

אם תסתכל לאופק על פסי רכבת אפילו ככה אתה בעצם לא תראה אותם בנקודה אחת אלא שעדין יש ביניהם מרחק... ההגדרה המתמטית של קוים מקבילים, אני חושב שהיא אומרת שהמרחק בין שני הקטעים נשאר קבוע - לא יפגשו. או שאפשר להגיד גם שאם ישר יכול להיות מאונך לשני הישרים אז הם מקבילים. אבל למרות כל זה, זה קורה ביקום שהעקמומיות שלו ישרה. ביקום שהעקמומיות שלו שלילית אז הקוים יתרחקו זה מזה, והיקום שעמומיותו חיובית הקוים ייפגשו.

 

[mili999]

הממ...

אין דרך להוכיח אם קוים מקבילים נפגשים או לא. זה שקוים מקבילים לא נפגשים זו אקסיומה של הגיאומטריה האוקלידית, שמניחה שיש קוים שלא נפגשים. הגיאומטריה האוקלידית זוהי הגיאומטריה המקובלת ואותה לומדים בתיכון. יש גיאומטריה אחרת, שאני לא בטוח בקשר לתרגום שמה (אולי גיאומטרית הטלה), שטוענת שבכל מקרה כל שני קוים נפגשים. קוים מקבילים בגיאומטריה אוקלידית נפגשים באינסוף בגיאומטריה השניה, לנקודת המפגש קוראים נקודה אידיאלית. אפשר להוכיח עם האקסיומה החדשה דברים כמו באוקלידית. יש פה בעיה אחת(עם פתרון): שהקוים נפגשים באינסוף משני הכיוונים (+אינסוף ו-אינסוף), והפתרון הוא שזה אותה נקודה, מתייחסים לזה כאילו זה מעגלי. ודרך אגב, המורה, כרגיל, טועה כי היא מלמדת גיאומטריה אוקלידית!!

 

[עמית103]

ישנם כמה סוגי גיאומטריות

או ליתר דיוק, סוגים של מערכות אקסיומטיות גיאומטריות, פרט לזו האוקלידית. גיאומטריה כדורית - גיאומטריה בה ה"מישור" הוא למעשה ספרה (פני השטח של כדור). הקווים הישרים בה הם מה שקרוי מעגלים גדולים - מעגלים שהמרכז שלהם הוא המרכז של הכדור עצמו. מעגלים בה הם מעגלים שמרכזם אינו במרכז הכדור. במערכת כזו, כל שני ישרים נפגשים בשני מקומות שונים. ניתן לדמות מערכת זו אל המישור אוקלידי יחד עם נקודת האינסוף. גיאומטריה פרוייקטיבית - גיאומטריה מישורית (שניתן להרחיבה למימדים אחרים) שכוללת, בנוסף למישור הרגיל, גם את ישר האינסוף - ישר איתו נחתכים כל הישרים, ושני ישרים מקבילים נחתכים באותה נקודה עם ישר האינסוף. ניתן לחשוב על מישור זה כעל תת קבוצה של המרחב (R^3) כאשר מזהים שתי נקודות אם שיעוריהן נבדלות רק בקבוע. ישר האינסוף, במקרה כזה, הוא הישר עבורו שיעור ה z וה x שווה ל 0. גיאומטריה היפרבולית - ישנם כמה דרכים להגדיר גיאומטריה כזו. אחת מהן מדברת על עיגול (מעגל כולל הפנים שלו אך לא כולל השפה שלו). הגדרת הגיאומטריה הזו היא קצת לא אינטואיטיבית, אבל ניתן לומר שבה מכל לכל ישר, ולכל נקודה מחוץ לישר, עוברים אינסוף ישרים דרך הנקודה שאינם חותכים את הישר, ורק אחד מהם מוגדר להיות המקביל שלו.

 

[mili999]

וואלה,

אני התכוונתי לפרוייקטיבית, שהיא כמעט זהה לאוקלידית, מלבד מפגש המקבילים והשינויים בגלל זה. פשוט באנגלית זה פרוג'קטיבית - הטלה. יש גםגיאומטריה בדידה שעל כל קו יש מספר נקודות סופי וידוע מראש.

 

[עמית103]

גם זו סוג של גיאומטריה פרוייקטיבית

ניתן להגדיר גיאומטריה פרוייקטיבית גם על מספר סופי של נקודות - בתנאי שכל האקסיומות הרגילות מתקיימות, בפרט שכל שתי נקודות שייכות לישר יחיד וכל שני ישרים נחתכים בנקודה אחת. הדוגמה הראשונה לכך היא המשולש - שלוש נקודות, שלושה ישרים (אם כי יש כאלו המגדירים מישור פרוייקטיבי רק אם הוא מכיל לפחות ארבע נקודות). ניתן גם להגדיר מישור פרוייקטיבי על 4 נקודות - נסתכל על משולש עם נקודה באמצעיתו, שמחוברת לכל שאר הנקודות. באופן כללי, השאלה לאילו מספרים טבעיים n יש מישור פרוייקטיבי המכיל n נקודות היא שאלה פתוחה. ידוע למשל שלכל ראשוני p, יש מישור פרוייקטיבי המכיל p^2+p+1 נקודות. זה לא תנאי הכרחי - ידועים גם ערכים אחרים של מספרים עבורם יש מישור פרוייקטיבי (למשל 10).

 

[עמית103]

גם זו סוג של גיאומטריה פרוייקטיבית

ניתן להגדיר גיאומטריה פרוייקטיבית גם על מספר סופי של נקודות - בתנאי שכל האקסיומות הרגילות מתקיימות, בפרט שכל שתי נקודות שייכות לישר יחיד וכל שני ישרים נחתכים בנקודה אחת. הדוגמה הראשונה לכך היא המשולש - שלוש נקודות, שלושה ישרים (אם כי יש כאלו המגדירים מישור פרוייקטיבי רק אם הוא מכיל לפחות ארבע נקודות). ניתן גם להגדיר מישור פרוייקטיבי על 4 נקודות - נסתכל על משולש עם נקודה באמצעיתו, שמחוברת לכל שאר הנקודות. באופן כללי, השאלה לאילו מספרים טבעיים n יש מישור פרוייקטיבי המכיל n נקודות היא שאלה פתוחה. ידוע למשל שלכל ראשוני p, יש מישור פרוייקטיבי המכיל p^2+p+1 נקודות. זה לא תנאי הכרחי - ידועים גם ערכים אחרים של מספרים עבורם יש מישור פרוייקטיבי (למשל 10).

 

[°°N0bod¥§½w‡ƒe°°]

זה עושה לי אסוסיצאיות מפחידות../images/Emo108.gif

של המפץ הגדול. 2 בלילה זה לא בריא בשבילי...

 

[נֵץ]

תשובה תשובתית?

אני אנסה להסביר למה לפי דעתי ולפי מה שלמדתי (השכלה של אמצע כיתה י', סה"כ, אז אני מצטער אם אני לא מדייק), שני קווים מקבילים לא יכולים להיפגש. נוכיח בדרך השלילה, לפי הציור

בציור אנחנו רואים את ההנחה שלפיה קווים מקבילים נפגשים (כמובן שהציור "עקום", כיון שהקוים לא יכולים להיפגש - כפי שנוכיח), ולכן נוצר משולש ABC. אקסיומות: 1. סכום זוויות במשולש הוא 180 מעלות. 2. סכום זויות חד צדדיות בין מקבילים הוא 180 מעלות. לפי זה קל לראות שהזויות A ו-B "גנבו" את כל 180 המעלות מהזוית C, שנשארה "בת 0 מעלות", דבר בלתי אפשרי במשולש. באשר לפסי הרכבת: זוהי אשליה אופטית הנוצרת מפרספקטיבה, וברור שאם נמשיך ללכת לאורך פסי רכבת אינסופיים מקבילים (כלומר אין מקום שבו יש הטייה של אחד הפסים לעבר הפס השני), הם לעולם לא ייפגשו.

 

[נֵץ]

ועכשיו כשאני חושב על זה

הטיעון באמת מתבסס על גיאומטריה אוקלידית שטוענת כי בין שתי נקודות עובר רק ישר אחד, אבל אני לא זוכר איך זה קשור. ננסה לחפש, אולי אני אמצא את הדף שהיה לי שמסביר את זה...

 

[Darakan]

אבל

אם תיקת את הקודקוד ותשים אותו במרחק מאוד מאוד מאוד מאוד גדול מבסיס המשולש, יצאו לך זוויות כמעט ישרות, וכמו בפיזיקה, ניתן להזניח את הכמעט, ככה שיוצא לך זוויות של 90 מעלות בין הישרים לבסיס.

 

[ailag]

מתמטיקאים לא מזניחים, הם משאיפים

 

[נֵץ]

צר לי...

אבל גם אם תשים את קודקוד C במרחק אינסוף אינסופי וכו', עדיין תגיע לזוית של 10 בחזקת מינוס אינסוף אינסופי וכו' מעלות, שהיא לא 0 בדיוק שהוא ההפרש של 180-180. ולא יעזרו קירובים (או הזנחות [או שאיפות כדדברי חברך]), כי זה בי-די-יוק. תקנו אותי אם אני טועה.

 

[ailag]

אתה טועה.

אני בת, לא בן.

 

[נֵץ]

רוב סליחות!

לא שמתי לב.

להבא אני אשתדל יותר לשים לב...

 

[Lev Man From Mars]

יש לך טעות.

זוויות חד צדדיות הן כאשר שתי הזוויות הן פנימיות או חיצוניות והזיות שאתה סימנת הן אחת פנימית ואחת חיצונים ומסיבה זו הן שוות אחת לשנייה. אז בעצם הזוויות שאתה סימנת כB היא לא חלק מהמשולש, אלה צלע חיצונית למשולש ובכדי לחשב את המשולש צריך לעשות

A+c+ (180-B)=180​

נ.ב רק עכשיו שמתי לב שבעצם לא ציירת משולש אלה מחומש.

 

[נֵץ]

ניסיון שני

(למזלי, רק פעם ראונה שהודעה שלי לא התקבלה). נסכם את מה שכתבתי בהודעה שעברה: 1. הציור שלי לא היה מדויק - הזוית B היתה צריכה להיות החד צדדית של A (הנחתי שיבינו שהאות B באה לייצג את הקודקוד, אבל לא נורא). 2. הבאתי בניסיון הקודם הוכחה מלאה למה C=0, אני מניח שתוכל להוכיח בעצמך, אחרי שהבהרתי את 1. 3. הציור חייב להיות מחומש (או מרובע - אם רק קו אחד נוטה בזוית) ולא משולש, כי זה טבעם של ציורים שלא מבטאים את המציאות: הם לא אמיתיים. מקווה שלא נעלבת... אם כן, אני מתנצל. תקנו אותי אם אני טועה.

 

[נֵץ]

../images/Emo12.gif ראונה=ראשונה