שאלה קטנה

[josef007]

שאלה קטנה

משהו זוכר את ההוכחה שכל פונקציה נתנת להצגה בצורה יחידה כסכום של פונ´ זוגית ואי זוגית´

 

[טלמון סילבר]

אני לא זוכר, אבל זה לא משהו פשוט

כמו:

f(x) = { [ f(x) + f(-x) ] / 2 } + { [ f(x) - f(-x) ] / 2 }​

? ? ?

 

[טלמון סילבר]

סליחה, לא הוכחתי שהצורה יחידה. אבל

נדמה לי שגם זה צריך להיות משהו פשוט. לא?

 

[איייייל]

כן

תניח שקיימות פונקציות g ו h כך ש g זוגית ו h אי זוגית. תכתוב למה שווים הביטויים

f(x)+f(-x) f(x)-f(-x)​

ותקבל נוסחאות סגורות עבור g ו h (ומכאן הם קיימים ויחידים).

 

[טלמון סילבר]

אני מציע להכניס את JOSEF007 לרשימת

אלה שלא מגיבים לתשובות.

 

[josef007]

...

אני דווקא חושב שצריך להכניס אותו לרשימת אלה שנאלצו להתנתק ויכלו להתחבר בדיוק עכשיו

 

[טלמון סילבר]

../images/Emo13.gif סתם...

 

[טלמון סילבר]

ננסה להוכיח שהצורה יחידה.

ראשית, סכום\הפרש שתי פונקציות זוגיות\אי-זוגיות הוא כנ"ל. קל להוכיח. נניח שהפונקציות u1 ו-u2 זוגיות, v1 ו-v2 אי-זוגיות, וכן:

f = u1 + v1 f = u2 + v2 u1 - u2 = v2 - v1 u1(-x) + u2(-x) = u1(x) - u2(x) כי שתיהן זוגיות u1(-x) + u2(-x) = v2(-x) - v1(-x) = -v2(x) + v1(x) = -u1(x) + u2(x) u1(x) - u2(x) = 0 u1 = u2 v2 - v1 = 0 v2 = v1​