שאלה קטנה...

[MTKOL]

שאלה קטנה...

מזו פונקציה רציפה? איך היא מתוארת ומה מייחד אותה?

 

[alon14]

פונקציה רציפה...

...הינה פונקציה שבתחום ההגדרה שלה הגבול ל-y בנקודה x זהה מימין ומשמאל בכל x. דוגמאות: y = x y = x^2 y = 3x + 1 y = 1/x* * הפונקציה רציפה למרות המצב ב-x=0 כיוון ש-0 אינו נכלל בתחום ההגדרה. דוגמאות לפונקציה לא רציפה:

y = <x> y = x /

כאשר הסוגריים הזוויתיים מציינים את הפונקציה "המספר השלם המקסימלי הקטן או שווה ל-x".

 

[alon14]

שיט, אמוטיקון מעצבן

במקום | x | (ערך מוחלט) יצא לי

...

 

[yontanbn]

איזה עץ נפלא נפתח כאן...

של כל מיני אנשים יודעי-דבר בתחומי האנליזה למיניהם, כאשר אף אחד מכם לא טרח לתקן טעות קטנה אך חשובה בהגדרה הפורמלית של אלון... לפי ההגדרה של אלון הפונקציה המוגדרת להיות 0 בכל R פרט לנקודה x=17, ובנקודה הזאת להיות 1, הינה רציפה, כי הגבול מימין בנקודה 17 שווה לגבול משמאל בנקודה 17 שווה לאפס, אך הפונקציה הזאת אינה רציפה בנקודה 17. ההגדרה הפורמלית הנכונה היא: פונקציה f תיקרא רציפה בנקודה x0 אם הגבול בנקודה x0 קיים ושווה לערך הפונקציה בנקודה. נשים לב שלהגיד שהגבול קיים, כבר אומר שהגבול מימין קיים והגבול משמאל קיים, ושניהם שווים. ההגדרה הפורמלית, בלי להשתמש במושג הגבול ישירות, היא: פונקציה f תיקרא רציפה בנקודה x0 אם 1. היא מוגדרת בנקודה וגם בסביבה פתוחה כלשהי של הנקודה 2. לכל e חיובי קיים d חיובי, כך שלכל x שמקיים:

|x-x0| < d​

מתקיים:

|f(x)-f(x0)| < e​

 

[Shiberia]

צר לי להודיע לערך מוחלט רציפה

אמנם לא גזירה באפס , אבל עדיין רציפה

 

[alon14]

לא דיברתי על ערך מוחלט...

...אלא על ערך "רגיל" חלקי ערך מוחלט (שזה גם הנגזרת של הערך המוחלט), פונקציה שמחזירה 1 עבור x חיובי ומינוס 1 עבור x שלילי (ומספר לא מוגדר עבור x שווה לאפס).

 

[Shiberia]

קבל ביטול

 

[איגור קרסיק]

עוד על פונקציות רציפות

אם לא ניכנס להגדרה המדויקת [כפי שאלון הביא] נוכל לאמר שפונקציה רציפה בקטע סופי היא פונקציה שאת הגרף שלה ניתן לצייר במשיכת קולמוס אחת [תודה לספרי אינפי 1 של האו"פ!]. ובכול זאת מושג הרציפות הוא ביסודו נקודתי! דהיינו ניתן לשאול אם הפונקציה רציפה בנקודה מסוימת ואז ניתן לענות שפונקציה y רציפה ב-a בתחום ההגדרה שלה אם כאשר x "מתקרב" ל-a אז y "מתקרב" לתמונת a ע"י y [דהיינו Y של a]. ודבר חשוב נוסף תחום ההגדרה של פונקציות רציפות חייב להיות חלקי ל-R [=קבוצת המספרים הממשיים]. הערה: הדבר האחרון שאמרתי איננו בדיוק נכון, שכן מושג הרציפות קיים גם בפונקציות של יותר ממשתנה אחת ואז תחום ההגדרה שונה, אבל נעזוב זאת כרגע. לפונקציות רציפות יש תכונות נחמדות: 1. פונקציה רציפה מקבלת מינימום ומקסימום בקטע סגור [ולכן גם חסומה בו] 2. "משפט ערך הביניים" = אם y רציפה בקטע סגור [a,b] ו-t הוא מספר ממשי שגדול מy של a וקטן מ-y של b [או להיפך], אז קיים c בקטע הפתוח מ-a ל-b כך ש-y של c שווה ל-t. 3. לפונקציה רציפה יש פונקציה קדומה. ויש עוד הרבה!

 

[alon14]

תכונה 3

מה לגבי:

e^(-x^2)​

הפונקציה של ההתפלגות הנורמלית? הקדומה שלה למעשה מוגדרת כ"הקדומה של הנ"ל", ואת זה אפשר לעשות עם כל פונקציה.

 

[Fingertip]

מה ש"מיוחד" בפונקציה הזו

הוא שזו פונקציה אלמנטרית שיש לה פונקציה קדומה שהיא לא אלמנטרית. כלומר, לא ניתן להרכיב ע"י הרכבה, כפל, חיבור, חילוק וחיסור את הפונקציה הקדומה מהפולינומים, sin,cos,tan,cot,ln,e. אהד.

 

[Fingertip]

וכמובן, מהפונקציות הטריגונומטריות

ההפוכות, Arcsin,Arctan וכו´ אהד.

 

[אוילר]

לא......

פונקציה קדומה של פונק´ אחרת היא פונק´ שנגזרתה שווה לפונק´ האחרת בכל נקודה (שהיא מוגדרת)....כשאומרים "הקדומה של הנ"ל" כבר יודעים שיש קדומה למרות שהיא לא אלמנטרית. בכדי שלפונקציה תהיה קדומה אסור(!!!) שיהיו לה אי רציפויות סליקות (גבול קיים אבל הפונק´ לא מוגדרת בנקודה) וכן אי רציפויות ממין ראשון (גבול מימין ומשמאל קימים אבל שונים). הפונק שרשמת היא רציפה והקדומה שלה היא הפונק´: אף של איקס = סכום כאשר אן הולך מאחד עד אינסוף של איקס בחזקת [שתי אן מינוס אחד] כפול מינוס אחד בחזקת [אן פחות אחד] חלקי [ (שתי אן מינוס אחד) כפול (אן מינוס אחת)עצרת]