שאלה על שדות משמרים

[Shiberia]

שאלה על שדות משמרים

תהי a:R->R^3 גזירה ו f:R^3->R^3 המוגדרת ע"י f(x)=a(|

|)1 (ה 1 בשביל הישור) הוכח: f שדה משמר אםם a קבועה.

 

[Shiberia]

ה x צריך להיות בתוך נורמה

תודה

 

[Fingertip]

הטענה לא נכונה... (לדעתי...)

ובכן, שים לב ש-|

| היא פונקציה אי שלילית. לכן, נבחר למשל a שהיא קבועה בכל הישר הממשי, ואז נשנה אותה רק בחלק השלילי, למשל x<-100. כעת, f שלנו לא תשתנה, אבל a לא קבועה... וליתר דיוק: נבחר (a(x)=(0,0,0 לכל x>=-100, ועבור x<-100 נגדיר:

a(x) = ((x+100)^2,0,0)​

אפשר להראות ש-a גזירה וכו´. כעת, נבחר (||f=a(||x. הפונקציה f היא זהותית (0,0,0). יש לה פוטנציאל, למשל G=0, ולכן זהו שדה משמר, אבל a בפירוש לא קבועה. אהד.

 

[Shiberia]

ואם נניח ש a מוגדרת רק מאפס והלאה?

 

[Shiberia]

איזו הקצפה ישנהההההההההה

 

[Shiberia]

נו תגיע כבר להתחלהההההההההההה

בבקשההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההה

 

[Fingertip]

בבקשה...

הנה פתרון לשאלה. ראשית, כיוון אחד טריוויאלי. אם העקומה קבועה, אז גם f קבועה וברור שהיא משמרת. הרעיון לכיוון השני הוא הוכחה בשלילה: מניחים שהעקומה אינה קבועה, ואז הנגזרת שלה אינה מתאפסת בנקודה מסויימת. לכן, יש נקודה r שבה הנגזרת אינה מתאפסת, ולכן אחד הרכיבים שלה אינו מתאפס בנקודה הזו. אם נתבונן בוקטור שבו רכיב אחד הוא r והשאר הם אפס, אפשר לקבל סתירה בקלות יחסית, באמצעות מסקנה ממשפט שוורץ. מקווה שעזרתי. אהד.

 

[Shiberia]

תודה רבה לך