lebron james2
New member
שאלה + ניסיון פתרון
(אציין שהשאלה היא מקורס במד"ר).
אוכלוסייה (n(t של בקטריות מקיימת את המשוואה הלוגיסטית
zz dn/dt = an-bn^2 zz, כאשר a,b קבועים.
א'. הוכח שהפתרון של המשוואה הוא:
zz n(t) = a / (b+ce^(-at)) zz.
ניסיון פתרון:
ממה שאני מבין, n הוא משחק כאן בתפקיד y, ו-t בתפקיד x.
ובכן, מתקיים: zz n' = an-bn^2 zz. (לא עשיתי כאן כלום...זה רישום שונה של הנתון).
המשוואה הזו היא משוואת ברנולי.
אחלק אותה ב-n^2 ואקבל:
zz n'/n^2 = a/n - b zz.
אציב: zz z = n^(1-2) = n^(-1) zz.
כלומר: zz z' = -n'/n^2 zz.
מקבלים:
zz -z' = az - b => z' + az = b zz.
גורם אינטגרציה הוא: zz e^(Integral[adt]) = e^at zz.
נכפול את z' +az = b ב-e^at ונקבל:
zz z'e^at + az*e^at = be^at zz כאשר צד שמאל זה
בעצם: zz (z*e^at)' zz.
נבצע אינטגרציה על שניי האגפים ונקבל:
zz z*e^at = b* ((e^at)/a) + c zz.
לכן אחרי חלוקה של שניי האגפים ב-e^at (שזה גודל חיובי) נקבל:
z = b/a + c.
לכן b/a = 1/n כלומר n = a/b.
קצת הלכתי לאיבוד כאן..איך אני מסיים? איך אני מגיע לביטוי של
(n(t הנדרש?
אודה על עזרתכם.
(אציין שהשאלה היא מקורס במד"ר).
אוכלוסייה (n(t של בקטריות מקיימת את המשוואה הלוגיסטית
zz dn/dt = an-bn^2 zz, כאשר a,b קבועים.
א'. הוכח שהפתרון של המשוואה הוא:
zz n(t) = a / (b+ce^(-at)) zz.
ניסיון פתרון:
ממה שאני מבין, n הוא משחק כאן בתפקיד y, ו-t בתפקיד x.
ובכן, מתקיים: zz n' = an-bn^2 zz. (לא עשיתי כאן כלום...זה רישום שונה של הנתון).
המשוואה הזו היא משוואת ברנולי.
אחלק אותה ב-n^2 ואקבל:
zz n'/n^2 = a/n - b zz.
אציב: zz z = n^(1-2) = n^(-1) zz.
כלומר: zz z' = -n'/n^2 zz.
מקבלים:
zz -z' = az - b => z' + az = b zz.
גורם אינטגרציה הוא: zz e^(Integral[adt]) = e^at zz.
נכפול את z' +az = b ב-e^at ונקבל:
zz z'e^at + az*e^at = be^at zz כאשר צד שמאל זה
בעצם: zz (z*e^at)' zz.
נבצע אינטגרציה על שניי האגפים ונקבל:
zz z*e^at = b* ((e^at)/a) + c zz.
לכן אחרי חלוקה של שניי האגפים ב-e^at (שזה גודל חיובי) נקבל:
z = b/a + c.
לכן b/a = 1/n כלומר n = a/b.
קצת הלכתי לאיבוד כאן..איך אני מסיים? איך אני מגיע לביטוי של
(n(t הנדרש?
אודה על עזרתכם.