אז ככה
כל הנושא הזה טיפה בעיתי שכן לא כל משוואה ב-x ו-y מגדירה פונקציה סתומה, או לפחות לא בכל תחום, אלא בתחום מיוחד. המשפט שדן בפונקציות סתומות נקרא "משפט הפונקציה הסתומה" שנותן תנאים מתי המשוואה מגדירה פונקציה וכן נותן דרך לחשב את ניגזרתה. הוכחת המשפט די מסובכת והיא דורשת רקע שאין לתלמיד תיכון. בתיכון, אני בטוח שתקבל משוואות שמגדירות פונקציה סתומה, ולכן בתיכון אין צורך בבדיקת התנאים (לפחות כך נראה לי שכן לא למדתי בתיכון פונקציות סתומות שכן "זה ירד במיקוד"!). בקשר לנגזרת, אני אתן דוגמא: yx+y=y^2 גוזרים את 2 הצדדים לפי X ומקבלים: y+xy´ + y´ =2y*y´ h (ה- h ליישור) שם לב שהתייחסתי ל-Y בתור פונקציה של x שאיננה כתובה בצורה מפורשת וגזרתי לפי כללי הגזירה הרגילים. שכן הנגזרת של y היא y´. כמו כן, xy זו מכפלה של 2 פונקציות: X ן- y(x) h (ה- h לישור) ולכן נגזרתה היא xy + y´ h וכנ"ל בצד השני של השוויון ששם y^2 היא פונקציה מורכבת (כאשר הפונקציה y מופיעה במקום ה-x). ומה שנשאר לך זה לפתור משוואה לינארית ולכתוב ביטוי לנגזרת של y כביטוי של y ו-x.
