שאלה חשובה לגבי Fixed Point Theorem
למדתי בשיעור בקורס "שיטות נומריות" את Fixed Point Theorem, שנוסח כך:
נניח כי:
1) (G(x),G'(x רציפות ב-[a,b].
2) K - קבוע חיובי
3) (x0 in (a,b
4) zz a<=G(x)<=b zz לכל [x in [a,b
אזי:
א'. אם zz |G'(x)| <= K < 1 zz לכל [x in [a,b, אזי האיטרציה (x_(n+1) = G(x_n תתכנס לנק' שבת יחידה [alpha in [a,b
ב'. אם zz G'(x) > 1 zz לכל [x in [a,b אז האיטרציה (x_(n+1) = G(x_n לא תתכנס ל-alpha.
כעת, לגבי שימוש במשפט הזה..
יש לי שאלה כזו:
נתונה משוואה x^3 - x^2 - x - 1 = 0
הראיתי שיש לה בדיוק שורש ממשי אחד בקטע x > 1.6.
עתה, התבקשתי כך:
מצא קירוב ל *x (שורש אמיתי/נק' שבת) ע"י כתיבת המשוואה בצורה:
(x = 1 + 1/x + 1/x^2 = G(x
והוכח שעבור קירוב התחלתי x0=1.6, האיטרציה (x_(n+1) = G(x_n מתכנסת.
האם יש התכנסות עבור כל ערך של x0>1.6?
תשובה:
תיהיה התכנסות אם עבור x0 = 1.6 יתקיים: zz |G'(1.6)| < 1 zz .
גוזרים, מציבים 1.6, ואכן האי שיוויון מתקיים.
זה מה שעשו בתרגול.
מי אמר בכלל שתנאי המשפט מתקיימים?
למה הם מתקיימים?
וגם, הנגזרת צריכה להיות קטנה מ-1 לכל x בקטע. מי הקטע בשאלה הספציפית לעיל, ולמה מספיק לבדוק את ערך הנגזרת בנקודה 1.6 בלבד?
אשמח להסבר.
אגב, האם תנאי מתנאי 4 אי אפשר להסיק ש-G על, כי לא מובטח שלכל איבר בטווח (קרי הקטע [a,b] על ציר y) קיים מקור. או שאני טועה?
למדתי בשיעור בקורס "שיטות נומריות" את Fixed Point Theorem, שנוסח כך:
נניח כי:
1) (G(x),G'(x רציפות ב-[a,b].
2) K - קבוע חיובי
3) (x0 in (a,b
4) zz a<=G(x)<=b zz לכל [x in [a,b
אזי:
א'. אם zz |G'(x)| <= K < 1 zz לכל [x in [a,b, אזי האיטרציה (x_(n+1) = G(x_n תתכנס לנק' שבת יחידה [alpha in [a,b
ב'. אם zz G'(x) > 1 zz לכל [x in [a,b אז האיטרציה (x_(n+1) = G(x_n לא תתכנס ל-alpha.
כעת, לגבי שימוש במשפט הזה..
יש לי שאלה כזו:
נתונה משוואה x^3 - x^2 - x - 1 = 0
הראיתי שיש לה בדיוק שורש ממשי אחד בקטע x > 1.6.
עתה, התבקשתי כך:
מצא קירוב ל *x (שורש אמיתי/נק' שבת) ע"י כתיבת המשוואה בצורה:
(x = 1 + 1/x + 1/x^2 = G(x
והוכח שעבור קירוב התחלתי x0=1.6, האיטרציה (x_(n+1) = G(x_n מתכנסת.
האם יש התכנסות עבור כל ערך של x0>1.6?
תשובה:
תיהיה התכנסות אם עבור x0 = 1.6 יתקיים: zz |G'(1.6)| < 1 zz .
גוזרים, מציבים 1.6, ואכן האי שיוויון מתקיים.
זה מה שעשו בתרגול.
מי אמר בכלל שתנאי המשפט מתקיימים?
למה הם מתקיימים?
וגם, הנגזרת צריכה להיות קטנה מ-1 לכל x בקטע. מי הקטע בשאלה הספציפית לעיל, ולמה מספיק לבדוק את ערך הנגזרת בנקודה 1.6 בלבד?
אשמח להסבר.
אגב, האם תנאי מתנאי 4 אי אפשר להסיק ש-G על, כי לא מובטח שלכל איבר בטווח (קרי הקטע [a,b] על ציר y) קיים מקור. או שאני טועה?