שאלה ב(תורת ה-) משחקים

[white shadow 3]

שאלה ב(תורת ה-) משחקים

הי
שאלה שחבר שאל אותי, כאשר המטרה היא לצבור את כמות הכסף הגדולה ביותר
נתון שיש בקופה 30 ש"ח. יש 2 מתחרים כאשר מטרת כל אחד מהם היא לצבור כמה שיותר כסף.
כל אחד מהם (לא מכירים ולא נפגשו) בנפרד צריך להמר על מספר בין 0 ל-30 כאשר בכל פעם יבחרו, מבין 2 המספרים, את המספר הנמוך יותר וחלוקת הכסף תתבצע בצורה הבאה:
2/3 מהסכום הנמוך שנבחר ינתן לזה שהימר על הסכום הזה
1/3 הסכום הנותר ינתן לזה שהימר על המספר הגבוה יותר

אם שני ההימורים זהים אז כל אחד יקבל 1/3.

השאלה היא מהי האסטרטגיה הנכונה.
קראתי קצת וזאת בעיה שמזכירה קצת את בעיית "2/3 ממוצע" אבל שם הפתרון היה 0 וכמובן שאינו מתאים לסיטואציה הנוכחית.
על פניו היה נראה לי שהאסטרטגיה הטובה מבחינת כל אחד מהם הייתה להמר על "30" (כדי שזה יצא המינימום) וכך שניהם ירוויחו 10

בגדול כל מספר מינימלי עד 15 יניב ל"מנצח" רווח קטן או שווה לסכום הזה, ובמקרה ובו המינימום הוא בדיוק 15 אז הצד המנצח ירוויח 10 אך הצד המספיק ירוויח פחות מ-10.

מתוך התעניינות (כי האמת אף אחד מאיתנו לא למד אסטרטגיות של תורת המשחקים) האם יש "אסטרטגיה" טובה למשחק הזה? (אני חושב שהייתי מהמר על 30

)

סוף שבוע טוב!

 

[גרי רשף]

תורת המשחקים אינה התחום שלי, אבל אנסה את כוחי..

המצב האידאלי הוא אם אחד יבחר ב-30 והשני ב-29, ואז הם יקבלו בהתאמה שליש ושני שליש מ-29.
זה עדיף מבחינת הסה"כ על שליש ושליש של 30: לראשון זה קצת פחות טוב כי שליש מ-30 עדיף על שליש מ-29, אך לשני עדיף בהרבה שני שליש של 29 על שליש של 30.
&nbsp
אם הייתה דרך לסכם על הגרלה אקראית שתקבע מי יבחר ב-30 ומי ב-29 זה היה מצויין, אך אין דרך כזו;
וגם אם הייתה, לזה שנקבע שיבחר ב-30 כדאי כעת להפר את ההסכם ולבחור ב-28 וכך במקום שליש של 30 הוא יקבל שני שליש של 28; אלא שזה לא יגמר כי גם השני יחשוב כך ואז כדאי לבחור ב-27, וכך הלאה כל הדרך למטה.
כמה למטה? עד 2: אז אין טעם לרדת עוד מכיוון ששליש של 2 ושני שליש של 1 זה אותו הדבר..

 

[paretomc]

אני הבנתי את השאלה אחרת

מי שבחר במספר הנמוך מקבל שני שליש מהסכום.
מי שבחר במספר הגבוה מקבל שליש ממה שהוא בחר ועד 30.
אתה מחפש שיווי משקל נאש - מצב בו לאף אחד מהשחקנים לא כדאי לשנות את האסטרטגיה שלו, גם אם הוא יודע מה האסטרטגיה של היריב.
עכשיו מאחר ושני השחקנים חכמים גדולים, בדיוק באותה מידה, האסטרטגיה של שניהם צריכה להיות זהה.
אם היית יודע בוודאות שהשני הימר על 15, ויקבל לכן 5 (שליש מ 30-15), שווה לך להמר על 14 ולקבל 9.33. אבל כך גם לו, ובהתאם לשניכם שווה להמר תמיד מעט פחות על כל סכום עד ל 10.
ב 10 שניכם משתווים, אבל מאחר ושניכם תבחרו אותו הדבר, עדיף לכל אחד מכם להמר על סכום נמוך יותר, נאמר 9 ולקבל 6.
ב 9 שניכם תקבלו 3, ולכן עדיף לכל אחד מכם להמר או פחות ולקבל יותר או על יותר ולקבל יותר.
&nbsp
אני לא מתמחה בנושא אבל להערכתי אין כאן שיווי משקל יציב ולכן יהיה צריך להמר כאן על מספר כלשהו בין 9-10. אשמח לקבל את התשובה המוסמכת

 

[white shadow 3]

למיטב הבנתי (ולפי דוגמא שפורסמה בהמשך..)

(או שפורסמה במקור והגיעה אלי בהמשך

)
הכוונה היא שהמהמר הנמוך מקבל 2/3 מההימור שלו, והשני מקבל את ה-1/3 הנותרים מההימור הנמוך שהיה (כלומר אם X הימר על 25 ו-Y הימר על 15 אבל Y יקבל 15*2/3 = 10 והשני יקבל את ה-5 (הנותרים מ-15...)

 

[paretomc]

אם זו הכוונה אז התשובה פשוטה יותר

אם מי שקובע כמה מקבלים הוא מי שמהמר על הסכום הנמוך יותר, והוא תמיד יקבל יותר מהשני, אז אם אתה יודע שהשני מהמר על 30,אתה תהמר 29 וכו. גם כאן התוצאה העגומה היא 0. תקנו אותי אם אני טועה

 

[white shadow 3]

עניין ההנדסה ההפוכה כאן גם הביאה אותי ל-0

למרות שדווקא את המספר הזה ניסיתי לשלול מראש (הסבר בהמשך)
לעניין השיטה של גרי - השאלה מנוסחת כך שהמטרה שלי היא לצבור כמה שיותר נקודות שאני יכול, כלומר אני מניח שאם מצב הנקודות הסופי שלי יהיה גבוה יותר מאשר של היריב אז המצב הכללי שלי בתחרות יהיה טוב יותר.
&nbsp
כלומר אם אני אדע שהימור טוב במקרה הזה הוא ששנינו נהמר על 2 (כי 1/3 מזה שווה ל-2/3 מ-1) אז אני אהמר כבר על 1,כי אז אמנם אני אקבל 2/3 (כביכול) אבל היריב יקבל רק שליש...
השיטה הזאת כביכול מביאה אותנו ל-0, למרות שמצד שני תמיד לשני הצדדים יש את הקול הזה שאומר להם שעדיף להם להמר על כל דבר מאשר על 0 כי אז בכל סיטואציה כל אחד מהם ירוויח לפחות משהו קטן (כלומר, עדיף ששנינו נהמר, נגיד, על 1 ונקבל כל אחד 1/3 מאשר שאחד מאיתנו/שנינו נהמר על 0 ואז אפילו את זה לא נרוויח..)
&nbsp
&nbsp

 

[white shadow 3]

חשיבה מעניינת

תודה על ההסבר..(אגב אני לא יודע מה התשובה הנכונה

)

 

[galgal581]

אני לא מומחה אבל נראה לי שיש לי דרך:

בגלל שהם לא מתואמים כלל והם לא יכולים להדבר לפני או תוך כדי המשחק אז לדעתי כדאי שתהיה אסטרטגיה כזו:
המטרה היא להגיע למצב שבו כל אחד מקבל פעם 2/3 מהכסף ופעם 1/3 מהכסף לסרוגין כמה שיותר מהר. זהו המצב הטוב ביותר עבור שניהם יחד ועבור כל אחד בנפרד (כי אין לאף אחד יתרון על השני).
הימור ראשון: כל אחד מהמר באופן אקראי על מספר בין 0 ל-30.
מי שקבל 1/3 מהכסף יהמר בפעם השניה על מספר בין 0 ל-15 ומי שקבל 2/3 מהכסף יהמר קבוע על מספר בין 16 ל-30.
ההסתברות שבפעם הראשונה הכסף יחולק בצורה האופטימלית (2/3 ו-1/3) היא גבוהה מאוד (97%). אם זה לא יקרה כך זה רק בגלל ששניהם בחרו מספרים שוים וזו הסתברות של 3% בלבד. גם אם זה יקרה אז כמעט בטוח שבפעם השניה הכסף יחולק בצורה האופטימלית.
אחרי שהכסף חולק בצורה האופטימלית פעם מסויימת, שיטה זו תבטיח ב-100% שבכל יתר הפעמים הוא יחולק בצורה אופטימלית.

 

[galgal581]

במחשבה שניה מי שקבל 2/3 מהכסף יהמר

בפעם הבאה על המספר 30 ומי שקבל 1/3 מהכסף יהמר בפעם הבאה על המספרים בין 0 ל-29. זאת כדי לצמצם את ההסתברות ששניהם יהמרו על אותו מספר בפעם השניה, השלישית וכו'.