שאלה / בקשה

[elad556677]

שאלה / בקשה

1 - מישהו יכול לתת לי הגדרה של מספר אי-רציונלי . 2 - מישהו יכול לתת דוגמה למשוואה שיש לה פתרון אי - רציונלי ( הכוונה היא לא למשוואה טריגונומטרית או למשוואה מעריכית/לוגריתמית עם פתרון שהוא e) . תודה !

 

[yontanbn]

תשובה / מענה

1. וודאי וודאי. מספר אי-רציונלי הוא מספר ממשי שאינו מספר רציונלי. מספר רציונלי הוא מספר ממשי שניתן להצגה כמנה של שני מספרים שלמים כאשר המכנה אינו אפס. דוגמאות למספרים רציונליים:

2, -7, 0.5, 0, -45/1345, ...​

דוגמאות למספרים אי-רציונליים:

pi, e, sqrt(2), -cbrt(3)​

כאשר sqrt זה שורש ריבועי וcbrt זה שורש שלישי. יש כמובן עוד הרבה דוגמאות. משפט חביב של קנטור אומר שיש *יותר* מספרים אי-רציונליים מאשר מספרים רציונליים... 2. משוואה מאוד פשוטה היא איקס בריבוע שווה 2, שהפתרונות שלה הם שורש 2 ומינוס שורש 2, שניהם מספרים אי-רציונליים. כמובן שעוד משוואה יכולה להיות פשוט 2 איקס שווה שורש 2 שפתרונה שורש 2 חלקי 2, עדיין מספר אי-רציונלי... אפשר לתת עוד המון דוגמאות אגב, אם כבר משוואות. יש עוד הגדרה מעניינת: מספר אלגברי הוא מספר שמאפס איזשהו פולינום שמקדמיו שלמים. מספר שאינו אלגברי נקרא טרנסצנדנטי או טרנסצנדנטלי.

 

[אוילר]

עוד משהו על אלגברים

קל לראות שכל מספר רציונאלי הוא אלגברי...אך נשאלת השאלה כמה אלגברים יש ממשפט חביב של אני לא יודע מי עולה כי יש יותר לא אלגברים מאשר אלגברים ומספר האלגברים *שווה* למספר הרציונאלים.

 

[buga]

מי שהוכיח את המשפט הוא כמובן קנטור

עד אז בכלל לא היה ברור האם קיימים מספרים לא-אלגבריים. הסתבר שיש הרבה. אם אני לא טועה זאת הייתה הפעם הראשונה שקנטור פירסם את תורת הקבוצות במסווה של פתרון הבעיה, כדי להתחמק מקרונקר שרדף אותו. (כמובן שזה לא עזר לו, קרונקר רדף אותו בכל מיקרה, וההוכחה הזאת לא הוכרה כלגיטימית כמה שנים טובות).

 

[Aegon]

הערה

הראשון שהוכיח כי קיימים מספרים לא-אלגבריים (טרנצנדנטיים) היה ליוביל (Liouville) אך קנטור אכן הוכיח לאחר מספר שנים כי מספרם כגרגירי החול שעל שפת הים, כלומר עוצמתם היא עוצמת הממשיים.

 

[Fingertip]

לא רוצה לחזור לשרשור של החול, אבל

מספר גרגירי החול שעל שפת הים הוא סופי - וגם אם לא, הוא בוודאי לא כעוצמת המספרים הממשיים - אלא אלף אפס. די ברור שניתן לסדר את כל הגרגירים בשורה... אהד.

 

[Aegon]

גרגירי חול

heh, אני יודע שמספר גרגירי החול הוא סופי, זה היה רק ביטוי (לא כל כך מוצלח.)

 

[buga]

בטוח? מצטער על הטעות...

זה אומר שלא כדאי להקשיב להערות היסטוריות של מרצים...

 

[elad556677]

תודה !!!