שאלה במרוכבים

[white shadow 3]

שאלה במרוכבים

z1....z5 הם שורשי היחידה מסדר 5.
אם
zz W=1/z1+1/z2+1/z3+1/z4+1/z5 + 2 zz

אז:
(6-2i+2w)/(1-i-w) = ?

זאת הייתה שאלה אמריקאית ומשום מה יש לי תחושה שכוונת המשורר לא הייתה שנחשב את כל 5 השורשים ואז נחפש את W בעזרת ההצבה אלא שיש כאן איזשהוא טריק שאפשר להפעיל אבל לא הצלחתי להבין איך ניגשים לשאלה הזאת

תודה מראש

 

[טלמון סילבר]

רמז ראשון

מה אפשר לומר על 1 חלקי z1 ושאר ההופכיים?

 

[טלמון סילבר]

רמז שני

נוסחאות וייטה לחמשת שורשי המשוואה:
z^5 - 1 = 0

 

[white shadow 3]

לגבי וייטה - אני יודע שהסכום שלהם שווה 0 והמכפלה 1

עשיתי דרך של מכנה משותף ובסופו של דבר הצלחתי להגיע לזה ש-W שווה 2.

אני מניח שאני יכול לשתמש ברמז #1 לגבי ה-1 חלקי השורשים וזה אולי יקצר לי את הדרך, למרות שאני לא בטוח שהבנתי את הכיוון של הרמז

 

[טלמון סילבר]

אם כבר מצאת את w, אז מה הבעייה?

מטרת הרמזים רק היתה למצוא את w.

 

[white shadow 3]

מציאת ה-W הייתה אחרי התגובות

עשיתי כל מיני משחקים עם זה ובסוף מצאתי את W אבל מעניין אותי לדעת איך אני יכול להשתמש ברמז הראשון כי אני חושב שהדרך שעשיתי הייתה סתם ארוכה ומסורבלת ואולי יש איזשהוא קיצור / טריק מעניין, ללמוד עוד דרך פתרון / הסתכלות

 

[סוס כסוף]

פשוט, 1 חלקי Z שווה ל *Z. . בהצגה קוטבית זה מיידי

 

[טלמון סילבר]

הרמזים

הרמז הראשון. ניקח את ההופכי של אחד השורשים ונעלה אותו בחזקת 5. מה מתקבל? 1 חלקי 1, כלומר 1, כלומר ההופכי הוא אחד השורשים, ומכיוון שהשורשים שונים גם ההופכיים שלהם שונים, ולכן קבוצת חמשת ההופכיים זהה לקבוצת חמשת השורשים, וסכום חמשת ההופכיים שווה לסכום חמשת השורשים, שכפי שציינתָ לפי וייטה (או כסכום טור הנדסי).שווה 0.

אך אפשר גם בלי הרמז הזה, רק עם וייטה. נמצא מכנה משותף לסכום חמשת ההופכיים ונקבל:
1/z1 + . . . + 1/z5 = σ4/σ5
ולפי נוסחאות וייטה המונה σ4=0, ואילו המכנה, כפי שציינתָ, שווה 1.