שאלה במכניקה

[tolko]

שאלה במכניקה

מהירות הקנה של אקדח היא 300 מטר לשנייה. אדם יורה בכל שנייה כדור כלפי מעלה א. מהו מספר המקסימלי של קליעים הנמצאים באוויר בזמן מסוים? על זה עניתי בלי בעיה כ-60. ב. באיזה גובה מעל האדמה יחלפו הקליעים זה מול זה בהנחה שהם נקודתיים? לא כל כך הבנתי את מהות השאלה ובטח לא את דרך הפתרון. אם אני צריך לחשב זאת עבור שני קליעים שנורים באופן עוקב אז אין לי בעיה לעשות זאת ולקבל גם תשובה מספרית (יצא לי במקרה שכזה 4498.75 מטר). אבל לפי הפתרון ראיתי שהתשובה בכלל ניתנת כמשוואה כללית. הייתי רוצה לדעת את הדרך לפיתרון

 

[tolko]

מקפיץ..,

אני בטוח שיש כאן אנשים שיכולים לעזור

 

[montag26]

תשובה

קודם כל, שים לב בסעיף א' שברגע נתון יש 2 כדורים בגובה נתון (אחד עולה ואחד יורד), אבל רק כדור אחד בשיא הגובה. לכן 59 כדורים בו זמנית (מספר אי זוגי. אם לוקח n שניות להגיע לשיא הגובה, יש 2n-1 כדורים בו זמנית). אם אני מבין נכון, הכוונה היא לחשב את הגבהים השונים שבהם כדורים חולפים אחד ליד השני. מהסימטריה אלה הגבהים שהכדורים נמצאים בהם בהפרשים של שניה (חוץ משיא הגובה ששם יש כדור אחד בלבד), שניתנים ע"י h(t)=300t-5t² כאשר t=1,2,3,...,29.

 

[unknown9898]

לא הבנתי את הסימטריה

ניסיתי לעשות בצורה שיטתית: X1 = 300T - 5T^2 X2 = 300(T+S) = 5*(T+S)^2 כאשר X1 ו X2 אלו המיקומים של איזשהם שני כדורים שנורו בהפרש זמנים S מהשוואת שני אגפים מקבלים: T = 30-0.5S כלומר הזמנים הם 30,29.5,28.. וזה לא תואם את מה שאתה רשמת שאלו הכדורים שנורו בהפרש של שני. אשמח לדעת איפה טעיתי

 

[tolko]

חבר'ה, לא נראה לי שזה הכיוון

אני אכתוב פה את התשובה שמצאתי היום, עדיין אין לי מושג מה הולך פה: נסמן את שני הקליעים, החולפים זה מוזל זה, במספרים סידוריים m ו-n כך ש n>m (כלומר הקליע m בירידה והקליע n בעליה) ו: n-m<60 אם הקליע הראשון נורה ב-t=0, הקליע m נורה בזמן t(m)=m-1 והקליע n נורה בזמן t=n-1. הקליעים יחלפו זה מול זה בזמן t בגובה y=h. פירוש הדבר שעד לזמן t שהה הקליע m באוויר t-(m-1) zz שניות ואילו הקליע n שהה t-(n-1) zz שניות, כלומר t-t(m) zz ו- t-t zz בהתאמה. משוואת המסלול של הקליע m היא: y=vo(t-m+1)-0.5g(t-m+1)^2 zz ומשוואתו של הקליע n זהה עם סימון n במקומות הרלוונטים. מהשוואת שתי המשוואות מחלצים את t: t= (2vo+g(n+m-2))/(2g) zz לביטוי n+m-2 יש ממדי זמן ולכן לשני האיברים במונה יש ממדי מהירות. נציב עתה את ערכו של t במשוואת המסלול, למשל של הקליע n ונקבל את h: h=vo(t-n+1)-0.5g(t-n+1)^2=(t-n+1)*[vo-0.5g(t-n+1)] zz אבל ממשוואת הזמן שחילצנו מתקבל: t-n+1=(2vo+gm-gn)/(2g) zz ולכן: h=(2vo+gm-gn)/(2g)*(2vo-gm+gn)/(4)=(4vo^2-g^2(n-m)^2)/(8g) zz אין לי מושג מה הולך פה בכלל...