שאלה במכניקה

[RoA6]

שאלה במכניקה

מעלית מאיצה מעלה בתאוצה של 2 מ'/ש'^2. כדור נזרק אנכית מעלה מרצפת המעלית ועובר ליד סטופר הנמצא בגובה h מעל ריצפת המעלית. הסטופר מופעל ברגע שהכדור נזרק, חולף לידו בפעם הראשונה כעבור 0.5 ש', והכדור חולף לידו בפעם השנייה כעבור 1 ש', (מתחילת התנועה) בדרכו אל רצפת המעלית. א. מצא באיזו מהירות יחסית למעלית נזרק הכדור? ב. מצא את גובה המעלית h? ג. בהנחה שמהירות המעלית ברגע זריקת הכדור היא 5 מ'/ש' כלפי מעלה, מהי הדרך הכוללת שעובר הכדור מרגע זריקתו ועד רגע פגיעתו ברצפת המעלית, כפי שתימדד ע"י צופה הנמצא מחוץ למעלית. ד. מהי מהירותו של הכדור ברגע בו הוא חוזר אל רצפת המעלית יחסית לצופה הנמצא מחוץ למעלית? התייאשתי לגמרי מהשאלה... תודה מראש לעוזרים!

 

[johngalt2]

תשובות

אוקיי, קודם כל, הכל בהנחה ש- g=10m/sec^2. א. ו- ב. כדי למצוא את זה נמצא את משוואת הכוחות על הכדור, וממנה נמצא את התאוצה, שהיא 12m/sec^2. לאחר מכן נעשה אינטגרציה פעמיים, כאשר ה- v_0 ישאר בתור נעלם. נתון לנו שקואורדינאטת ה- 'y (הגובה במערכת המעלית) היא h בזמנים t=0.5 ו- t=1. מכאן אנו יכולים לבנות שתי משוואת בשני נעלמים, כאשר הנעלמים הם v_0 ו- h. יוצא בסוף: h=3m v_0=9m/sec^2 ג. מתוך משוואת התנועה שבנינו, יוצא שהזמן שבו הכדור פוגע ברצפת המעלית הוא t=1.5sec. נחשב את המרחק הכולל שהמעלית עוברת, ונוסיף לזה את המרחק הכולל שהכדור עובר במערכת המעלית, וזה המרחק שלנו (נראה לי שיוצא בסוף 11.06m). ד. פשוט - משיקולי סימטריה (ואין בעיה לחשב את זה), המהירות של הכדור במערכת המעלית כאשר הוא פוגע ברצפה היא 9m/sec^2-. נוסיף לזה את מהירות המעלית בזמן t=1.5sec, וזה המהירות היחסית של הכדור במערכת כדוה"א. (יוצא, לדעתי, 0.75m/sec^2.)

 

[RoA6]

תודה רבה! אבל..

לא ממש הבנתי. למה צריך למצוא את התאוצה..? אנחנו יודעים שהתאוצה של המעלית היא 2 מ/ש'^2, וכשהכדור נזרק התאוצה שלו היא 10 מ'/ש'^2.... בכל מקרה אתה יכול להראות מה עשית עם משוואות? שוב תודה!

 

[johngalt2]

כן

אנו יודעים שהתאוצה היא 12m/sec^2 לפי משוואת הכוחות המדומים (כוחות דל'אמבר): F + F_0 =ma' ZZ, כאשר F זה שקול הכוחות במערכת שבה אנו רוצים למצוא את תאוצת הגוף, a' ZZ זה התאוצה, ו- F_0 זה הכוחות המדומים, כאשר: F_0 = -ma_0, כאשר a_0 זה תאוצת המערכת המואצת ביחס למערכת המנוחה (במקרה הזה, תאוצת המעלית ביחס לכדוה"א.) בכל מקרה, כל זה זה פורמלי: בעקרון, ברור שהכוחות המדומים פועלים בכיוון הפוך לתאוצת המערכת - לדוגמא, כאשר אתה רוצה לשלם לנהג באוטובוס, והוא מאיץ קדימה, אתה עף אחורה. לכן: a' = -(g+a) ZZ, או 12m/sec^2 בכיוון למטה.

 

[סוס כסוף]

הסבר קצת יותר מפורט

את החלק הראשון אנחנו נעשה לפי תנועה יחסית, כלומר נבחר מערכת ייחוס הנעה עם המעלית, בניגוד למערכת ייחוס נייחת, שהייתה מוצבת מחוץ למעלית לכן, המהירות והתאוצה שנחשב בתוך המעלית יהיו שונים מאילו שייראו ע"י צופה חיצוני. כדי לעבור מן הנתונים היחסיים בתוך המעלית אל הנתונים במערכת הנייחת נצטרך להוסיף להם את המהירות והתאוצה של המעלית ביחס למערכת הנייחת מעכשיו ועד הודעה חדשה אני מדבר על הנתונים ביחס למעלית. נבחר ציר אנכי עם כיוון חיובי כלפי מעלה וראשית הצמודה לרצפת המעלית. התאוצה בתוך המעלית תהיה תאוצת הכובד מינוס תאוצת המעלית. מכיוון שבחרנו כיוון חיובי כלפי מעלה התאוצה של הכדור תהיה (-g)-2 = -12 m/sec² Vo מהירות הזריקה ההתחלתית היא מיקום הכדור בכל רגע ורגע ביחס למעלית יהיה y=V0t+0.5*(-12)t² = Vot-6t² נציב את זמני המדידה של הסטופר h=Vo*0.5-6*0.5² אבל הנוסחה הנ"ל טובה גם בכיוון הרידה כלפי מטה ולכן h=Vo*1-6*1² נחסיר את המשווה הראשונה מן השניה ונקבל Vo=9 m/sec כלומר מהירות הזריקה ביחס למעלית הייתה 9 מ"שנ כלפי מעלה נציב את המהירות באחת המשוואות של המיקום למציאת הגובה. למשל במשוואה השניה h=9*1-6*1=3 m לפני שנעבור הלאה נחשב כבר עכשיו את הזמן שלקח לכדור לעלות למעלה ולחזור חזרה לרצפה וכן את מהירות הפגיעה ברצפה יחסית למעלית בשביל הזמן נשתמש שוב במשוואת המיקום דלעיל y=Vot-0.5at² = 9t-0.5*12t² ברצפה y=0 ---> 9t-6t²=0 t פתרון אחד הוא אפס, כי זה רגע הזריקה. הפתרון השני, אחרי שנחלק את כל המשוואה ב t=1.5 sec מהירות הפגיעה ברצפה תהיה V=Vo+at = 9-12*1.5 = -9 m/sec אבל את זה יכולנו לנחש כי מהירות הזריקה תמידשווה בערך מוחלט למהירות הפגיעה חזרה נשאר לחשב את הדרך ביחס לצופה מבחוץ. זה אומר שצריך לעבור מן המערכת הנעה למערכת הנייחת המהירות ביחס למערכת הנייחת שווה למהירות במערכת הנעה פלוס מהירות מערכת הייחוס (חיבור וקטורי, כלומר חיבור הלוקח בחשבון את הכיוונים). מכאן Vo=9-5=4 m/sec a=-g=-10 m/sec² t=1.5 sec מהירות הפגיעה ביחס למערכת הניחת תחושב לפי אותה נוסחה V=-9-5 = -14 m/sec כלומר 14 מ"שנ כלפי מטה נותר לחשב את המרחק. גם מרחק במערכת החיצונית שווה למרחק במערכת הנעה פלוס המרחק של המערכת הנעה המרחק של הכדור בתוך המעלית יהיה הדרך שלו עד התקרה כפול 2 מוחלט (ביחס למערכת הנייחת) = abs יחסי = rel המרחק למעלה נמשך מחצית מן הזמן הכולל כלומר 0.75 שניות Srel = 2(9*0.75-6*0.75²) = 6.75 m המרחק שעברה המעלית V0=5 m/sec a=2 m/sec² t=1.5 sec S=5*1.5+0.5*2*1.5²=30 m המרחק הכולל יהיה הסכום 6.75+30=36.75 m​