שאלה בלינארית.

[סתםמישהו]

שאלה בלינארית.

מישהו יכול להסביר לי בהיגיון ובלי הוכחות ארוכות למה זה נכון : T ה"ל מ-V ל-W אז למה המימד של V שווה למימד של התמונה של T והמימד של הגרעין של T ?

 

[סתםמישהו]

כלומר dimV= dim imT+dim (ketT

 

[איייייל]

הוכחה

ההוכחה שאני מכיר היא בעזרת מטריצות (אולי מישהו כאן מכיר הוכחה יותר אלגנטית?) ניתן לתאר את הטרנספורמציה T(v) ע"י הכפלת x משמאל במטריצה A, כאשר x הוא וקטור הקואורדינטות של v בבסיס מסויים. Tx הוא צרוף לינארי של העמודות של T כאשר האיברים של x הם המקדמים, ולכן המימד של imT הוא מימד מרחב-העמודות של T. מצד שני, kerT מכיל את כל הוקטורים שניצבים לכל השורות של A, לכן המימד שלו הוא המימד של V פחות מימד מרחב-השורות של T. ידוע שמימד מרחב השורות שווה למימד מרחב העמודות - ולכן הסכום של dim(ker(T)) ו dim(im(T)) שווה למימד של V.

 

[Fingertip]

הוכחה "הגיונית"...

קודם כל, אני מקווה שברור לך שמספיק לבדוק את פעולת הטרנספורמציה על אברי בסיס כלשהו. ובכן, ניקח v1,...,vn בסיס של V. כעת, נתחיל להפעיל את הטרנספורמציה T על אברי הבסיס, ונפעל בצורה הבאה: בכל פעם, נפעיל את הטרנספורמציה על אבר בסיס, ו"נזכור" את התוצאה. אם הוקטור שקיבלנו בלתי תלוי בתוצאות הקודמות, "נזכור" גם אותו (כך אנו ניצור לנו בסיס ל-ImT). אם הוקטור הנ"ל, נאמר vi תלוי בשאר הוקטורים, אז נעיף אותו מהבסיס המקורי, ונכניס את הוקטור שמצורף. אם אני לא טועה, אפשר להוכיח שעדיין נישאר עם בסיס. בכל מקרה, תשים לב שאז התמונה של הוקטור הזה הופכת להיות 0. כלומר, כל וקטור שלא הוסיף לנו לבסיס התמונה ImT יהפוך להיות וקטור שיהווה בסיס לגרעין, KerT. בסוף התהליך נישאר עם בסיס מיוחד של V: אם נפעיל את הטרנספורמציה dim ImT מהוקטורים שלו, נקבל בסיס ל-ImT, ושאר הוקטורים יהוו בסיס לגרעין. מכאן הטענה קצת יותר ברורה. אם נהיה מאוד רשלנים, אז אפשר לנסח את הטענה כך: קיים בסיס ל-V כך ש-dimImT מהוקטורים שלו מהווים בסיס לתמונה, ושאר הוקטורים מהווים בסיס לגרעין. מקווה שעזרתי. אהד.