שאלה בגאומטריה

[duvdevanim]

שאלה בגאומטריה

בבקשה מי שיכול שיבדוק לי את השאלה ויגיד לי אם הדרך נכונה או לא.. בקובץ מצורף....

 

[איגור קרסיק]

שגוי

בהתחלה השתמשת במשפט על תיכונים למראת שמודבר בגבהים, ואפילו אילו היה מדובר בתיכונים השימוש שגוי שכן מהשימוש נובע שבהכרח כל 2 תיכונים במשולש שווים באורכם.

 

[duvdevanim]

נראה לי שיש משפט כזה גם לגבהים, לא?

 

[איגור קרסיק]

לא. לפחות אני לא מכיר.

בכול מקרה, ההוכחה די קצרה. נסה לחשוב...

 

[duvdevanim]

אתה יכול לרשום לי את תכונות הגובה?

כי יש לי כבר שתי תכונות מאד פשוטות af=af קטע משותף-צ bf=fc- נתון זוית =90f1=f2 נתון גובה מזה נובע שהמשולשים חופפים צ ז צ נכון?

 

[איגור קרסיק]

לא

לא נתון לך ש-AF הוא גובה... אבל ניתן להוכיח שהוא גובה. יש משפט שאומר ששלושת הגבהים במשולש נפגשים בנקודה אחת...

 

[duvdevanim]

אתה יכול לרשום לי בבקשה את ההוכחה?

 

[הנשר הנובח]

בבקשה ../images/Emo107.gif

AF הוא גובה, כי הוא עובר דרך נקודת מפגש הגבהים. AF הוא גם תיכון (נתון BF=FC ). משולש שבו הגובה הוא גם תיכון - הוא משולש שווה שוקיים (מ.ש.ל.).

 

[איגור קרסיק]

אופס... לא שמתי לב שענית...

 

[הנשר הנובח]

לא נורא- הפתרון שלך מפורט יותר../images/Emo107.gif

 

[duvdevanim]

רגע ולא צריך להוכיח שהוא עובר

דרך נקודת מפגש הגבהים כי הרי הציור של המשולש זה רק סקיצה... ?

 

[איגור קרסיק]

.......

אם אתה לא יודע שהוא עובר דרך Q, אזי הטענה שבתרגיל שגויה. ולכן יש מיקרים שבהם אתה חייב להסתמך על הציור. הוכחות מדויקות בגיאומטריה הן מעבר לרמה התיכונית משום שיש ללמוד את האקסיומות של הגיאומטריה האוקוולדית [יש די הרבה!] וגם ההוכחות נהיות נורא מיגעות!

 

[איגור קרסיק]

....

א. Q היא נקודת מפגש 2 גבהים ולכן ע"פ המשפט שכתבתי בתגובתי הקודמת הגובה השלישי חייב לעבור ב-Q. אבל הוא גם חייב לעבור ב-A. ומשום שדרך 2 נקודות עובר ישר יחיד, AF הוא גובה. נתון גם ש-AF תיכון, על כן ABC שו"ש. ב. DEQ דומה ל-CQB. משום זוית משותפת ויחס [שם לב שמשום שהמשולש שו"ש DC=BF וכן BQ=QC ולכן גם DQ=QE. ומכאן קל להראות שQ/QC = EQ/QB]. ולכן יש זוויות מתחלפות...

 

[טלמון סילבר]

מישהו זוכר את ההוכחה של המשפט

ששלושת הגבהים של משולש נפגשים בנקודה אחת?

 

[הנשר הנובח]

כן, אתה זקוק לה או סתם שואל? ../images/Emo107.gif

 

[טלמון סילבר]

מה זאת אומרת "זקוק"? לעבודה אני

בכלל לא זקוק לדברים כאלה. בוודאי זקוק! איזו שאלה.

 

[הנשר הנובח]

זה יקח קצת זמן לכתוב את הכל ../images/Emo107.gif

יש לך סבלנות ?

 

[טלמון סילבר]

אם זה ארוך אז לא חשוב. עכשיו ממילא

צריך ללכת לישון. בהזדמנות.

 

[הנשר הנובח]

בבקשה ../images/Emo107.gif

צייר לך משולש ABC . נעביר שלושה גבהים : ´AA´ , BB´ , CC . צ"ל שהם נפגשים בנקודה אחת. דרך A נעביר מקביל DF ל BC , דרך B נעביר מקביל EF ל AC ודרך C נעביר מקביל DE ל AB . נקבל משולש DEF . ACEB מקבילית ולכן AC=BE . ACBF מקבילית ולכן AC=BF . מכאן BE=BF . באותה דרך : AD=AF , CD=CE . ´AA מאונך ל BC ולכן מאונך גם ל DF . מכאן שהוא אנך אמצעי ל DF . באותה דרך ´BB אנך אמצעי ל EF וגם ´CC אנך אמצעי ל DE . מאן ששלושתם נפגשים בנקודה אחת, לפי המשפט ששלושת האנכים האמצעיים במשולש נפגשים בנקודה אחת. עכשו בטח תשאל אותי איך אני יודע את המשפט הזה ? טוב, כאן ההוכחה נורא קצרה ופשוטה – שתי שורות. נעביר שני אנכים אמצעיים שנפגשים ב N , ונוכיח שגם השלישי עובר ב N . לפי משפט אנך אמצעי : AN=BN , BN=CN ולכן AN=CN , ומכאן ש N על האנך האמצעי השלישי.

 

[duvdevanim]

תוגה לכולם- אבל יש לכם אולי דרך

לסעיף 2 בלי משולשים דומים כי לא למדנו עדין משולשים דומים