שאלה באינפי

[yyy1234]

שאלה באינפי

צ"ל שאם F פונק´ מונוטונית וחסומה בR אז היא רמב"ש שם

 

[cauchy]

אין בושה?

רק נגמר המבחן וכבר אתם מפציצים את הפורום? ד"א, אני בטוח שמאה אחוז יהיה מי שיענה לך בפורום שלנו, חצי כיתה פתרה את השאלה הזו...

 

[yyy1234]

הקפצה

111111111111111111111111111111111111111111111111111111

 

[Fingertip]

הטענה אינה נכונה...

תסתכל בפונקציה שצרפתי. זו פונקציה מונוטונית עולה וחסומה (למשל ע"י 2pi) ב-R, אבל היא בכלל לא רציפה שם, ולכן אין מה לדבר על רציפות במידה שווה. מקווה שעזרתי. אהד.

 

[yyy1234]

אופס... שכחתי להוסיף את התנאי של

הרציפות... מדובר על פונקציה מונוטונית רציפה וחסומה

 

[איגור קרסיק]

.....

קל להוכיח שקיימים הגבולות באינסוף ובמינוס אינסוף. על כן, F רב"ש ב-R.

 

[yyy1234]

מה???

 

[איגור קרסיק]

........

קל להוכיח זכאשר x שואף לאינסוף או למינוס אינסוף אז F שואפת למספר סופי. יש משפט שאומר, אם F רציפה בקטע החצי סגור מ-a עד אינסוף וקיים הגבול כאשר x שואף לאינסוף אז F רב"ש בקטע הנ"ל. ומשפט דומה למקרה שבו הקטע הוא חצי סגור ממינוס אינסוף עד a... אם כן, מהמשפט הנ"ל וממה שכתבתי בהתחלה מסיקים ש-F רציפה בקטע החצי סגור מ-0 כד אינסוף ובקטע ממינוס אינסוף עד 0, על כן רציפה ב-R.

 

[yyy1234]

אממ... אפשר להוכיח את זה בלי המשפט?

כי לא למדנו אותו פשוט

 

[איגור קרסיק]

לא קשה להוכיח את המשפט....

בהתחלה מוכחים שהמשפט נכון כאשר הגבול הוא 0... ע"י משפט קאנטור + מושג הגבול. ולאחר מכן מרחיבים אותו לכל גבול שהוא... אין לי כוח לכתוב את ההוכחה. אני ממליץ שתשבור את הראש בעצמך. אולי יש הוכחה פשוטה יותר, אבל אין לי זמן לחשוב אני חייב לרוץ....

 

[טלמון סילבר]

הוכחה.

נניח שהפונקציה עולה (אם היא יורדת ההוכחה עבור מינוס F, ואם אחת מהן רמבש אז גם השנייה כמובן). ההוכחה מסתמכת על שני המשפטים הבאים: 1. פונקציה מונוטונית חסומה - מתכנסת. 2. פונקציה רציפה בקטע סופי סגור - רמבש באותו קטע. הפונקציה שואפת ל-A כאשר x שואף לאינסוף, ושואפת ל-B כאשר x שואף למינוס אינסוף (המשפט הראשון). כלומר עבור כל e ("אפסילון") גדול מ-0 קיים N גדול מ-0, שעבור כל x1 ו-x2 קטנים ממינוס N מתקיים:

B =< F(x1) < B + e B =< F(x2) < B + e | F(x1) - F(x2) | < e​

ועבור כל x1 ו-x2 גדולים מ-N מתקיים:

A - e < F(x1) =< A A - e < F(x2) =< A | F(x1) - F(x2) | < e​

בקטע הסגור [2N,2N-], בהתאם למשפט השני, הפונקציה רמבש, כלומר עבור כל e גדול מ-0 קיים "דלתא" גדול מ-0, שעבור כל x1 ו-x2 ש:

| x1 - x2 | < "דלתא"​

מתקיים:

| F(x1) - F(x2) | < e​

כאמור למעלה, אי השוויון ממשיך להתקיים גם כאשר x1 ו-x2 קטנים ממינוס N וגם כאשר שניהם גדולים מ-N. ואם ליתר ביטחון ניקח "דלתא" קטן מ-N (להקטין את "דלתא" אף פעם לא יזיק), אז יוצא שעבור e מצאנו "דלתא" המקיים את הגדרת רמבש בכל R.