שאלה באינפי 1

[yoelbit]

היי,
אני סטודנט שלומד את קורס אינפי 1, דרך סרטונים ביוטיוב של אביב צנזור (מרצה מהטכניון)
והיה עניין אחד בהוכחות שלו שלא הבנתי.
וזו ההוכחה ש a-n היא סידרת קושי אם ורק אם היא מתכנסת.
מה שלא הבנתי זה, שלאחר שהוכחו שסדרת קושי חסומ
בהוכחה הוא הסתבך על משפט בולצאנו וורשטראס, (שאומר שלסדרה חסומה יש תת סדרה מתכנסת) כדי להגיד שלa-n יש תת סדרה שמתכנסת לגבול L.
ועל הגבול הזה הוא בנה את ההוכחה שהסדרהa-n עצמה מתכנסץ.

העניין הוא שL הוא גבול חלקי של התת סדרה, מי אמר שזו הגבול של a-n עצמה?
לפי הקו מחשבה שלי יכול להיות שלa-n יש עוד גבולות חלקים.

מצרף פה את הסרטון:

מתחיל לדבר על ההוכחה מדקה 25:05.

אשמח אם מישהו יוכל לעזור לי בהבנה של זה. תודה

 

[Shiran_yair2]

היי,
אני סטודנט שלומד את קורס אינפי 1, דרך סרטונים ביוטיוב של אביב צנזור (מרצה מהטכניון)
והיה עניין אחד בהוכחות שלו שלא הבנתי.
וזו ההוכחה ש a-n היא סידרת קושי אם ורק אם היא מתכנסת.
מה שלא הבנתי זה, שלאחר שהוכחו שסדרת קושי חסומ
בהוכחה הוא הסתבך על משפט בולצאנו וורשטראס, (שאומר שלסדרה חסומה יש תת סדרה מתכנסת) כדי להגיד שלa-n יש תת סדרה שמתכנסת לגבול L.
ועל הגבול הזה הוא בנה את ההוכחה שהסדרהa-n עצמה מתכנסץ.

העניין הוא שL הוא גבול חלקי של התת סדרה, מי אמר שזו הגבול של a-n עצמה?
לפי הקו מחשבה שלי יכול להיות שלa-n יש עוד גבולות חלקים.

מצרף פה את הסרטון:

מתחיל לדבר על ההוכחה מדקה 25:05.

אשמח אם מישהו יוכל לעזור לי בהבנה של זה. תודה

אפשר לייק על השיר המקורי שלי

 

[AnarchistPhilosopher]

אם סדרה מתכנסת אז היא מתכנסת לגבול החלקי שלה והגבול החלקי הוא למעשה הגבול של הסדרה.

 

[yoelbit]

את זה אני יודע,
העניין הוא שמה שנתון לי זה שזו סדרת קושי > מכאן אני מבין שהיא חסומה > יש לה תת סדרה מתכנסת לפי בולצאנו וורשטראס > L הוא גבול חלקי.
אבל לסדרה עצמה יכול להיות כמה תת סדרות עם גבולות חלקים.
רק אם לסידרה יש גבול חלקי אחד אני יכול להסיק שהיא מתכנסת. אבל זה לא נתון לי מההוכחה.

וזה מה שאני מנסה להבין, איפה אני יכול לדעת מההוכחה שL הוא הגבול החלקי היחידי שלה

 

[הפרבולה1]

את זה אני יודע,
העניין הוא שמה שנתון לי זה שזו סדרת קושי > מכאן אני מבין שהיא חסומה > יש לה תת סדרה מתכנסת לפי בולצאנו וורשטראס > L הוא גבול חלקי.
אבל לסדרה עצמה יכול להיות כמה תת סדרות עם גבולות חלקים.
רק אם לסידרה יש גבול חלקי אחד אני יכול להסיק שהיא מתכנסת. אבל זה לא נתון לי מההוכחה.

וזה מה שאני מנסה להבין, איפה אני יכול לדעת מההוכחה שL הוא הגבול החלקי היחידי שלה
צפה בקובץ המצורף 37072

הוא מוכיח שכל איבר בסידרה , גם אלו שאנו מניחים שאולי לא שייכים מלכתחילה לתת סידרה המתכנסת מרחקם מהגבול L גם שואף ל 0 ( בגלל שהם "מצטופפים" סביב איבר ששיך לתת סידרה בגלל שזו סידרת קושי ) ולכן בהכרח כל האברים שייכים לאותה תת סדרה המתכנסת ו L הוא הגבול היחידי .

אם נניח היו שני תת סדרות מתכנסות לגבולות L1 L2 שונים אז לא היה מתקיים תנאי קושי כי עבור אפסילון קטן משליש המרחק בין L1 L2 היו אברים משני התת סדרות שמרחקם זה מזה היה גדול מאפסילון.

 

[AnarchistPhilosopher]

הוא מראה שהגבול של התת-סדרה המתכנסת הוא גם הגבול של הסדרה המקורית.
a_{m_0} מתכנסת ל- L.

 

[AnarchistPhilosopher]

אולי בשביל בהירות הוא היה צריך לרשום במקום m_0 את האינדקס n_k.
בכל מקרה אני למדתי מהספר של מייזלר, ולמרות הפונט המזעזע הצלחתי להבין ממנו די הרבה.

 

[yoelbit]

תודה רבה לכן