שאלה באינטגרלים

[mcdoland]

שאלה באינטגרלים

נגדיר את הפונקציה f(x) כן: 0 עבור איקסים לא רציונלים 1/n עבור x=m/n כערת m/n הוא שבר מצומצם הוכח כי f(x) אינטגרבילית מעל כל קטע סופי ומצא את ערך האינטגרל

 

[טלמון סילבר]

שאלות לשאלה.

באיזה אינטגרל מדובר? רימן? לֶבֶּג? סטילטיֶס? מה ערך הפונקציה ל- x=0 ? (ללבג זה לא חשוב). אם מדובר באינטגרל רימן, אז אני לא בטוח שהאינטגרל קיים. אולי אני טועה. ניקח קטע [0,1]. נבנה סדרת סכומי מלבני רימן בעזרת הסדרה האינסופית של המספרים הראשוניים:

p - n ´המספר הראשוני מס d = 1/p x(n,k) = k/p (k=1,2,3,...,p-1) x(n,p) = (p-1)/p S=1​

אבל אם נעשה שינוי קטן:

x(n,k) = (k*p-1)/p^2 (k=1,2,3,...,p) S<1/p שואף ל-0​

 

[mcdoland]

מדובר ברימן

וצ"ל שזה אינטגרבילי אז כנראה שכן ולא הבנתי מה כתבת כל כך אזז אם אפשר בבקשה יותר מפור תודה מראש

 

[mcdoland]

וגם דרבו אחד משניהם

 

[טלמון סילבר]

אם אני טועה, שיתקנו אותי.

אם קיים אינטגרל של פונקציה מ-a עד b, אז - לפי ההגדרה! - איך שלא נבנה את הסדרה המפורטת בהמשך, יהיה לה אותו הגבול, והאינטגרל שווה - לפי ההגדרה - למספר זה. בניית הסדרה. מחלקים את הקטע [a,b] למספר קטעים, מכפילים את אורך כל קטע בערך הפונקציה בנקודה כלשהי בקטע הזה, ומחברים את כל המכפלות. כך מקבלים אבר מסויים של הסדרה. את האבר הבא מקבלים בדיוק באותה דרך: שוב מחלקים את כל הקטע לקטעים נפרדים, שוב בוחרים בכל קטע נקודה כלשהי ומכפילים את ערך הפונקציה בנקודה זו באורך הקטע, ומחברים את כל המכפלות. והדרישה העיקרית לסדרה זאת: בחלוקת הקטע הכללי לקטעים קטנים יותר, אורך הקטע הגדול ביותר מהם שואף ל-0. אז אם לא טעיתי, בניתי בקטע [0,1] שתי סדרות שונות המתאימות להגדרה זו, אך שתיהן שואפות לגבולות שונים, לכן האינטגרל לא קיים. אם אתה מסכים עד כאן, ועדיין לא מובן איך בניתי את הסדרות, אפרט גם את זה. אולי לא הבנתי נכון את הנתונים? ואגב, מה ערך הפונקציה בנקודה 0 ? (למרות שערך הפונקציה בנקודה אחת לא חשוב).

 

[איגור קרסיק]

......

אתה צודק בהגדרה. אבל לא הבנתי כלום מהסדרות שבנית. יש לי רעיון לפתור את השאלה בעזרת ההגדרה של דארבו, אבל אין לי כוח לנסות... הרעיון שבדרך שלי היא להוכיח שהפונקציה אינטגרבילית בכל קטע שקצותיו מספרים שלמים. חישוב הסכום העליון טיפה בעייתי, אבל לדעתי ניתן להתגבר על הבעיתיות.

 

[טלמון סילבר]

הסבר הסדרות. נא לתקן אם לא נכון!

ראשית, אם הבנתי נכון, הפונקציה שווה 0 עבור כל x אי-רציונלי, ושווה 1 חלקי n עבור כל מספר רציונלי m חלקי n (כאן n ו-m שלמים והשבר לא מצטמצם, ונגיד n חיובי). אנסה לבנות שתי סדרות של סכום רימן, השואפות לגבולות שונים. ניקח למשל את הקטע [0,1]. ובכן, נניח:

p(1) = 3 p(2) = 5 p(3) = 7 p(4) = 11​

וכו´ - סדרה עולה של מספרים ראשוניים. היא שואפת לאינסוף. עבור כל n נבנה את סכום רימן בדרך הבאה: נחלק את הקטע [0,1] ל-(p(n קטעים שווים, ובכל קטע כזה ניקח x מסויים, ונכפיל את (f(x באורך הקטע, כלומר ב-1 חלקי (p(n, ונראה למה שווה סכום שטחי המלבנים האלה. עד כאן בסדר? כאשר עבור כל n נבחר את ה-x-ים הבאים:

1/p, 2/p, 3/p, ..., (p-1)/p, (p-1)/p​

(בקטע האחרון בחרתי את הנקודה השמאלית, מה שבגדול לא כל כך משנה) אז הערך של הפונקציה שווה לכולם: 1 חלקי (p(n, וסכום רימן שווה 1 (עבור כל n !). עד כאן נכון? אם ניקח בתור "נציג" של כל קטע את האמצע שלו, ה-x-ים יהיו (עבור כל n):

1/2p, 3/2p, ..., (2p-1)/2p​

וסכומי רימן יהיו עבור כל n שווים ל-1 חלקי 2. ואם סתם נבחר x-ים אי-רציונליים, אז בכלל סכומי רימן יהיו שווים 0. מי רואה כאן טעות?

 

[טלמון סילבר]

מצטער, טעיתי. כל הגבולות שווים 0.

 

[mcdoland]

אבל צריך להוכיח שהוא קיים!!!