שאלה באינטגרלים

[MayaTMR]

שאלה באינטגרלים

תוכלו בבקשה לעזור לי בשאלה המצורפת? אני תקועה בה...

 

[אורי769]

רמז

לפי המשפט היסודי האינטגרל בסוף השאלה שווה ל
(f(u+1) - f(u

 

[AnarchistPhilosopher]

איך אתה מראה ש- קיימת כזו נקודה?

אם g(x)=f(x+1) - f(x) אז אני צריך להראות שקיימת נקודה u כך ש g(u)=0.
&nbsp
מהנתון יודע שבהינתן M>0 קיים N>0 כך שעבור x>N ועבור x<-N מתקיים: f(x)>M.
ניקח x בין N- לבין N , בקטע הזה f(x) קטן או שווה מM...
איך להמשיך, טלמון סילבר הראה כבר משהו דומה, לא כך?
&nbsp

 

[טלמון סילבר]

אם (g(x חיובית או שלילית עבור כל x,

אזי הסדרה הדו-כיוונית
. . . f(-3) f(-2) f(-1) f(0) f(1) f(2) f(3) . . .
או שלעולם לא תגיע למינוס M, או שלעולם לא תגיע לפלוס M.

 

[טלמון סילבר]

תיקון

...אזי עבור (M=f(0
לעולם לא נמצא N שיתאים לשני הכיוונים

 

[אורי769]

פחות או יותר כך...

מראים שקיים a עבורו (f(a+1) < f(a
מראים שקיים b עבורו (f(b+1) > f(b
לכן בקטע a,b יש נקודה ב-g(x)=0.

 

[AnarchistPhilosopher]

זה אני יודע, אבל איך משתמשים בנתון כדי להראות את זה?

אני יודע שצריך להשתמש במשפט ערך הביניים אבל לא ברור לי איך להשתמש בנתון.

 

[אורי769]

אפשר כך

בדומה למה שכתב טלמון - נסתכל על הסדרה (an = f(n. לפי היינה היא מתכנסת ל- inf ובפרט אינה מונוטונית יורדת.

 

[AnarchistPhilosopher]

חסר לי משהו בשביל טיעון פורמאלי קוהרנטי.

אז הסדרה an=f לא יורדת מונוטונית אז ניתן למצוא a כך שf(a)<f(a+1).
לפי הגדרה של סדרה מונוטונית, קיים n עבורו
f<f(n+1) (שלילה של סדרה מונוטונית יורדת).
&nbsp
ובשביל האי שוויון השני, מגדירים את הסדרה bn=f(-n), האם היא לא עולה מונוטונית?
&nbsp
&nbsp

 

[טלמון סילבר]

מה פה "לא פורמלי"?

מכיוון שהפונקציה (g(x)=f(x+1)-f(x
גזירה בכל R, היא גם רציפה בכל R.
אם היא שונה מ-0 עבור כל x ממשי, אז אחת מהשתיים: או שהיא חיובית עבור כל x ממשי, או שהיא שלילית עבור כל x ממשי.

אם היא חיובית עבור כל x ממשי, אזי הסדרה
f(0), f(-1), f(-2), f(-3), . . .
מונוטונית יורדת, בזמן שהיא אמורה לשאוף לאינסוף. לא כך?
אותו דבר בכיוון השני.

 

[AnarchistPhilosopher]

אוקיי הבנתי, תודה. קצת לא מפוקס היום.

 

[AnarchistPhilosopher]

או שפשוט לא הבנתי את ההסבר הראשון שלך, כנראה.

 

[אורי769]

בבקשה

lim (x->inf) of f(x) = +inf
לכן לפי היינה הסדרה
(an = f(n מתכנסת ל-inf.
בפרט היא לא מונוטונית יורדת. לכן קיים b עבורו (f(b+1)>f(b
lim (x->-inf) of f(x) = +inf
לכן לפי היינה הסדרה
(an = f(-n מתכנסת ל-inf
ומאותו טיעון קיים a עבורו (f(a+1) < f(a
ואז מפעילים ערך ביניים על g בקטע a,b.

 

[טלמון סילבר]

הכי פשוט וקולע

 

[MayaTMR]

עזרה בפרמול הסתירה לאינסוף

קודם כל תודה רבה לכם על הרעיונות! זה ממש עזר!
לגבי התשובה, אני עכשיו דווקא נתקעת בפרמול הסתירה לגבול באינסוף ובמינוס אינסוף...
תוכלו לעזור לי לפרמל זאת? אני יודעת שזה החלק "הבסיסי" אבל הוא נורא חשוב לי.
הנה מה שכתבתי... אשמח לכל הערה! ממש כל הערה

 

[אורי769]

בבקשה

בסה"כ נראה בסדר אם כי ניתן לנסח באופן יותר מסודר. לדוגמא

1. טענה - סדרה an המתכנסת לאינסוף אינה מונוטונית עולה.
לעניות דעתי, בשלב זה של לימודייך מותר לך להתבסס על זה ללא הוכחה. אם רוצים בכל זאת להוכיח אז:
נתונה an --> inf. כלומר, לכל M קיים N כך שלכל n>N מתקיים an>M. בפרט עבור M=a1 קיים n המקיים an > a1 ולכן הסדרה אינה מונוטונית יורדת.

2. טענה: אם f מקיימת lim (x-> inf) f(x) = inf, אז קיים b כך ש-(f(b+1)>f(b
הוכחה: נסתכל על an=n. ברור ש-an --> inf ולכן לפי היינה והנתון f --> inf.
לכן לפי טענה 1 יוצא ש-(f(n אינה יורדת ולכן קיים b כך ש-(f(b+1)>f(b.

3. טענה: אם f מקיימת lim (x-> -inf) f(x) = inf, אז קיים a כך ש-(f(a+1)<f(a
הוכחה: אותו הדבר רק an=-n.

הסיום שלך מכאן הוא על הכיפאק.