שאילתא - בסיס ומימד

[white shadow 3]

שאילתא - בסיס ומימד

המרחב הוא המטריצות מסדר 2x3 /
u מוגדרת להיות מטריצה מגודל זה כך שמקיימת את התנאי:
b11+b12+b13=-3(b21+b22+b23) (או יותר נוח -
a+b+c=-3(d+e+f)
האם זה אומר ש
zz a=-b-c-3d-3e-3f zz
וזה מה שאני מציב במטריצה הכללית כדי למצוא איבר כללי במטריצה U ומשם מוציא סקלרים ומוצא את הבסיס ואת המימד?

 

[white shadow 3]

נא להתעלם מהשאלה הקודמת. שאלה חדשה

יש לי 2 תתי מרחבים u ו-w של מטריצות 3*2
&nbsp
האיבר הכללי ב-u הוא
&nbsp
zz -b-c-3d-3e-3f b c zz
zz d e f zz
&nbsp
(dim=5)
&nbsp
ואיבר כללי ב-w
zz z -5z 4z zz
zz g -5g 4g zz
(dim=2)
&nbsp
ואני צריך לחשב את המימד והבסיס של החיתוך בניהם.
עכשיו, אם אני משווה איברים דומים יוצא לי 0=0 מה שלא הגיוני...
איפה הטעות?

&nbsp
תודה!

 

[1ca1]

אל תשווה

קודם כל אני מעדיף כתיבה בתור R^6 של הכל.
תקבל כאן 5 וקטורים בראשון, ואילו בשני 2 וקטורים (בת"ל, למרבה הפלא).
ואז מדרגים, ובטוח יהיה חיתוך (כי סכום המימדים גדול מ-6).
&nbsp
בכל אופן, אם כן תשווה, תקבל 0=0, כלומר יש כאן פתרון פרמטרי דו-מימדי, z=t ו-g=s, כלומר בעצם כל הת"מ של שני האיברים מוכל במרחב הגדול. זה קצת מבלבל לראות את זה בתצוגת המטריצות, אבל המטריצה
zz [0,0,0; g,-5g,-4g] zz
אכן בצורה של המטריצה העליונה, וכך גם השורה העליונה דווקא כן בצורה של המטריצה העליונה, זה מבלבל מאוד אבל בעצם המרחב הדו-מימדי מוכל במרחב הגדול.

 

[white shadow 3]

שאלת המשך לגבי עניין הדירוג

אם אני מעביר הכל ל-R^6 ומדרג, אני אכן מקבל ש-2 שורות מתאפסות ולכן dim של החיתוך הוא 2 וdim של האיחוד הוא 5...
השאלה היא - איך מצורת הדירוג שקיבלתי אני יודע להציג את הבסיס של ה*חיתוך*?
&nbsp
תודה על התשובה!

 

[1ca1]

השורות שהתאפסו לך הן בעצם ת"ל בשורות הראשונות

בתהליך הדירוג אתה בעצם עושה רק קומבינציות לינאריות של השורות (תחשוב על זה), ולכן בעצם "איפסת" את השורות העודפות.

 

[white shadow 3]

אשמח לעוד חידוד קטן בנושא

לא בטוח אם הבנתי 100%..
אני פורש את כל הוקטורים לשורות של מטריצה, מקבל מטריצה עם 7 שורות..
לאחר X כלשהוא של פעולות אלמנטריות אני מקבל מטריצה שהתאפסו בה 2 שורות (כך שאני יודע שמימד החיתוך הוא 2)
האם אני צריך לחזור אחורה לראות איזה וקטורים מקוריים מתאימים לשורות שהתאפסו? (אני מניח שלא כי זה תהליך לא יעיל במיוחד)
&nbsp
ניקח לדוגמא את המטריצה שקיבלתי לאחר הדירוג הזה:
&nbsp
zz -1 1 0 0 0 0 zz
zz 0 1 0 0 0 0 zz
zz 0 0 1 0 0 0 zz
zz 0 0 0 0 1 0 zz
zz 0 0 0 0 0 1 zz
&nbsp
(זה האיחוד שלי)
&nbsp
איך מזה אני יכול לאתר את 2 הוקטורים (שכבר התאפסו לי בדירוג) לבסיס של החיתוך?
&nbsp
שוב, תודה רבה!

 

[white shadow 3]

כלומר, ברור ש-2 השורות שהתאפסו הן

גם ככה צירוף כלךשהוא של 5 השורות שנשארו, אך האם זה אומר שעל מנת למצוא בסיס לחיתוך אני יכול לקחת כל 2 שורות כלשהן ממה שנשאר לי והן יהיו הבסיס של החיתוך?

 

[1ca1]

שנייה

אתה מבלבל פה בין דברים.
לשים וקטורים במטריצה ולדרג מאתר לך תלות לינארית.
הדירוג מוצא לך בסיס ל-U+V (שהוא המרחב שמכיל את U,V), ולא לחיתוך.
&nbsp
מה שקרה כאן, שאנחנו רואים שהשורות התחתונות התאפסו כלומר המרחב הקטן מוכל בגדול, ולכן החיתוך הוא הקטן.
&nbsp

 

[white shadow 3]

ריסטרט קטן...

פשוט קצת איבדתי את עצמי עם נושא החיתוכים האלה..
&nbsp
ניקח לדוגמא את הבעיה הבאה:
יש לי מטריצה מסוימת שעבורה נסמן ב-u את מרחב השורות וב-c את מרחב העמודות
&nbsp
לאחר דירוג יצא לי שu מרחב השורות הוא:
zz 1 -8 -3 4 zz
zz 0 0 1 0 zz
zz 0 0 0 1 zz
&nbsp
לאחר דירוג המטריצה המוחלפת יצא לי שמרחב השורות של המטריצה המוחלפת הוא:
zz 1 1 4 -1 zz
zz 0 2 -3 7 zz
zz 0 0 -1 1 zz
(בכוונה ציינתי את הוקטורים האלה בצורה של שורה לטובת המשך השאלה)
&nbsp
אני נשאל מהו בסיס לחיתוך של u עם c (כאשר מתבקשים להתעלם מההבדל בין שורה לעמודה לצורך הפתרון)
&nbsp
איך אני ממשיך מכאן?
אם אני אחפש "איבר כללי" במרחב u ו-c אז אני אכפול את המטריצות האלה בסקלרים a ו-b לדוגמא..
אבל אני עדיין לא מצליח להבין כ"כ איך מכאן ניתן למצוא בסיס לחיתוך בניהם

&nbsp
אגב, תודה רבה ההסברים עד כה!