רציפות במ"ש. השאלה מופנית למי שבאמת יודע

[dani shovevani3]

רציפות במ"ש. השאלה מופנית למי שבאמת יודע

המושג הזה לא מובן לי...אשמח אם מישהו שבאמת מבין את המושג, יוכל לתת כאן הסבר מפורט של המושג, של ההגדרה..מתי פונקציה רציפה במ"ש מתי היא לא רציפה במ"ש..דוגמאות לפונקציות ברציפות במ"ש שווה ומדוע הן רציפות במידה שווה ודוגמאות לפונקציות שאינן רציפות במידה שווה ומדוע הן לא רציפות במידה שווה..מוטיבציה להגדרה הזו...אם יש..וכמובן, אינטואיציה למושג הזה על מנת שיהיה אפשר לנסות "להיאחז בו"...

תודה רבה לעוזרים

 

[אורי769]

תשובות

המושג של רציפות במ"ש הוא באמת מושג חמקמק עבור סטודנטים לאינפי' ומשתי סיבות
1. לא קל לראות ממבט ראשון מה ההבדל בהגדרה מרציפות "סתם".
2. לא ברור למה זה טוב.

בא נסתכל על ההגדרה:
פונקציה f היא רציפה בתחום D אם
לכל x ב-D ולכל ε>0, קיים δ>0 כך שלכל y כך ש-y-x|<δ| מתקיים f-f(x)|<ε|
פונקציה f היא רציפה במ"ש בתחום D אם
לכל ε>0, קיים δ>0 כך שלכל x ב-D ולכל y כך ש-y-x|<δ| מתקיים f-f(x)|<ε|

צריך לקרוא את זה כמה פעמים כדי להבין מה קרה כאן. בהגדרת הגבול יש קשר בין ε ל-δ. מה זה אומר "לכל ε>0, קיים δ>0 ..."? זה אומר ש- δ הוא תלוי במובן מסויים ב-ε. אפשר לומר שבמובן מסויים-δ הוא פונקציה של ε. עכשיו מה שקורה בהגדרת הרציפות זה שהתלות הזו היא שונה עבור כל נקודה x. ואילו בהגדרת הרציפות במ"ש, התלות הזו היא אחידה לכל ה-x. כלומר רציפות זו תכונה נקודתית ואילו רציפות במ"ש זו תכונה של הפונקציה בתחום כולו.

דרך אינטואיטיבית להבין התכנסות במ"ש היא דרך מושג השיפוע. פונקציה היא רציפה במ"ש השיפוע שלה "חסום" במובן מסויים. היא לא משתנה מהר מדי. לדוגמא sin היא רציפה במ"ש בכל הישר ובאמת אין לה עליות או ירידות "רציניים". לעומת זאת (sin(x^2 השיפועים שלה הולכים וגדלים ככל שמתרחקים מהראשית והיא אינה רציפה במ"ש בכל הישר, למרות שהיא כן רציפה במובן הרגיל. האינטואיציה הזו היא מעט בעייתית - כי מושג השיפוע קשור לנגזרת, ובשום פנים ואופן אין להסיק ממה שכתבתי שפונקציה רציפה במ"ש היא גזירה. ממש לא. זו רק אינטואיציה איך לראות את זה.


כעת לשאלה למה זה טוב: זאת שאלה אפילו קשה יותר, כי למען האמת את הסיבות העיקריות למה ההגדרה הזו באה לעולם תראה (אם תאריך ימים מבחינה מתמטית) בקורסים מתקדמים יותר. כבר בקורסי המשך של אינפי' כאשר לומדים על סדרות של פונקציות, רואים שהתכונה הזו היא הכרחית כדי שגבול של סדרת פונקציות יקיים תכונות של הפונקציות בסדרה עצמה. אבל את הסיבה העמוקה יותר למושג הזה תלמד רק כאשר תלמד טופולוגיה. שם יתברר עד כמה המשפט התמים למראה של קנטור, זה האומר שפונקציה רציפה בקטע סגור היא רציפה במ"ש, הוא חשוב ומשמעותי.

 

[1ca1]

יש לזה דווקא שימוש "אלמנטרי"

ואפילו קריטי - בהוכחה שכל פונקציה רציפה על קטע סגור אינטגרבילית בו.

זה גם שימוש שמראה קצת על מה באמת הולך שם...

 

[אורי769]

צודק!

 

[antreprize]

מה עושים עם רציפות במ"ש בטופולוגיה

ועם משפט קנטור בטופולוגיה?

 

[אורי769]

טופולוגיה

למעשה טופולוגיה מכלילה את מושג הקטע הסגור למושג של קבוצה קומפקטית. במקרה המטרי, משפט קנטור מנוסח כך: פונקציה רציפה מעל תחום קומפקטי היא רציפה במ"ש. במקרה הלא מטרי, כמובן שלא ניתן לדבר במונחים של אפסילון-דלתא, אבל למעשה הקומפקטיות מספקת את התוצאות (במובן זה, לא משפט קנטור הוא החשוב אלא דווקא היינה-בורל).

כבר זרמו לא מעט מים בירדן מאז שלמדתי טופולוגיה. הנה דוגמא אחת נחמדה שאני זוכר - הוכחת משפט ברואר בעזרת הלמה של שפרנר.

 

[מיזגוניסט סכיזופרן]

עוד קצת תשובות

א. רציפות היא תכונה נקודתית (ניתן לשאול האם כל הנק' בקטע מקיימות אותה, אבל בבסיסה היא תכונה נקודתית)
ב. רציפות במ"ש היא תכונה של קטע.

ברציפות - השאלה המנחה היא, האם ערך הפונקציה בנק' מתאים להתנהגותה בכל סביבה קטנה מספיק של הנקודה.

ברציפות במ"ש - השאלה המנחה היא, האם אני יכול לשלוט בקצב השינוי של הפונקציה בקטע. אם לכל אפסילון חיובי, אני יכול למצוא דלתא, כך שלכל שתי נקודות בקטע שמרחקן קטן מדלתא, מתקיים כי המרחק בין ערכי הפונקציה ביניהן הוא קטן מאפסילון, אז אני יכול לומר בבטחה כי יש לי חסם מלעיל לגבי קצב השינוי של הפונקציה בקטע.

שים לב, כמו שאמרו מעלי, נא לא לבלבל את המושג קצב שינוי עם מושג הנגזרת.