רציפות במידה שווה

[raviosa]

רציפות במידה שווה

f(x) רציפה במידה שווה בתחום D אם לכל אפסילון חיובי קיימת דלתא חיובית כך שלכל x1 x2 מהתחום מהתנאי x1-x2 קטן מדלתא נובע ש f(x1)-f(x2) < epsilon .
האם רציפות במידה שווה אומרת שפשוט הפונקציה רציפה בכל נקודה בקטע ? מה זה אומר "במידה שווה" ? פשוט הביאו את ההגדרה היבשה הזאת ואני לא מצליח להבין אפילו אינטואיטיבית מה זה אומר, אם אפשר הסבר ברור אני אשמח. תודה

 

[1ca1]

לא

המידה השווה מדברת על כך ש-D נבחר כללית, בלי לדעת על x1 מלכתחילה.
שים לב לכמתים - ברציפות רגילה, נותנים את הפונקציה ו-x0, ואז אומרים לכל e יש d, ואז d נבחר ע"ס x0 ויכול להשתנות בין x0ים בקטע.
קשה להבין את זה אינטואיטיבית, בגלל שעל קטע סגור וחסום, משפט קנטור אומר שפונקציה רציפה היא רציפה במ"ש שם.
אז הנה דוגמא למשהו שלא רציף במידה שווה - f(x)=x^2 בכל R.
תנסה להוכיח מההגדרה עם דלתא שהיא רציפה בכל x0 ב-R, ותראה איזה דלתא אתה מקבל.

 

[raviosa]

אבל לא הגדירו לנו רציפות בנק' עם אפסילון

הגדירו לנו רציפות בנקודה מסויימת אם ערך הגבול כשאיקס שואף לאותה נקודה של הפונקציה שווה לערכה של הפונקציה באותה נקודה..

 

[1ca1]

ומה זה ערך גבול? זה אומר שיש גבול, כלומר אפסילון.

אם אתה רוצה, אפשר לכתוב רציפות בנקודה עם אפסילון.
לכל e>0 יש d>0 כך שאם |x-x0| קטן מ- d אז |f(x)-f(x0)| קטן מ-e.
זה מחייב כמובן ש-f מוגדרת ב-x0 (בניגוד לגבול רגיל שמספיק מוגדרות בסביבה מנוקבת).