ריבוע קסם 99

[הפרבולה1]

נתון ריבוע 5X5 משבצות עם מספרים. יש לצבוע 5 משבצות אקראיים כך שלא יהיו יותר ממשבצת אחת צבועה בכל שורה ובכל עמודה.
הוכיחו שתמיד הסכום של המספרים במשבצות שנבחרו יהיה 99

​

 

[עריסטו]

אם נכתוב מספר מימין לכל שורה ומתחת לכל עמודה כמו בתמונה, נקבל שכל מספר בטבלה הוא הסכום של המספר שמימין לשורה והמספר שמתחת לעמודה, למשל המספר 17 בטבלה הוא הסכום של המספר 7 מימין והמספר 10 למטה. יש משבצת צהובה אחת בכל שורה ובכל עמודה ולכן סכום המספרים במשבצות הצהובות הוא תמיד סכום 10 המספרים שכתבנו מסביב לטבלה.

 

[הפרבולה1]

אם נכתוב מספר מימין לכל שורה ומתחת לכל עמודה כמו בתמונה, נקבל שכל מספר בטבלה הוא הסכום של המספר שמימין לשורה והמספר שמתחת לעמודה, למשל המספר 17 בטבלה הוא הסכום של המספר 7 מימין והמספר 10 למטה. יש משבצת צהובה אחת בכל שורה ובכל עמודה ולכן סכום המספרים במשבצות הצהובות הוא תמיד סכום 10 המספרים שכתבנו מסביב לטבלה.
צפה בקובץ המצורף 142526

אכן.
וזה נובע מכך שכל עמודה מהווה סדרה חשבונית עם אותו הפרש ( 7 במקרה שלנו ).
אז לכל 4 משבצות שמהוות מלבן סכום ערכי האלכסונים זהה. למשל בציור 22+38 = 24 +36
ואפשר להגיע מכל בחירה ( שהיא תמורה של 5 ) לבחירה אחרת על ידי סדרת צעדים של החלפת האלכסונים ובכל צעד כזה הסכום לא משתנה.