רבמ"ש

[cauchy]

רבמ"ש

מישהו זוכר במקרה את ההוכחה שפונקציה מונוטונית חסומה היא רבמ"ש? או פונקציה שיש לה גבול היא רבמ"ש?

 

[jaXon]

לא מדוייק

אני מניח שנתון גם שהפונקציה רציפה, נכון? אחרת תתכן פונקציה מונוטונית וחסומה שאינה רציפה בכל נקודה, ואז בוודאי אינה יכולה להיות רציפה במידה שווה. (למשל פונקציה שהיא 0 עבור X קטן מ0, ו-1 עבור X גדול או שווה ל0)

 

[cauchy]

ברור שהפונקציה רציפה

 

[טלמון סילבר]

למה צריך לזכור? זה מסובך?

נַסֵּחַ בדיוק את המשפט, וננסה להוכיח, זה צריך להיות פשוט.

 

[cauchy]

הניסוח

אני לא בטוח שיש משפט כזה, אבל זה מה שצריך להוכיח: תהי f פונקציה מונוטונית חסומה ורציפה (בקטע סגור, פתוח, או אינסוף), הוכח ש-f רבמ"ש. או תהי f פונקציה חסומה ורציפה, ובעלת גבול כאשר איקס שואף לאינסוף, הוכח ש-f רבמ"ש. ולטלמון: אני רואה שטרחת לנקד את המילה נסח, אבל מתחת ל-ס צריך להיות פתח/קמץ (לא זוכר בדיוק מה משניהם).

 

[טלמון סילבר]

תודה על התיקון.

כנראה פתח. את הוכחת חלק מהמשפט הראשון נדמה לי שכתבתי כאן ממש לא מזמן (מונוטונית חסומה ורציפה ב-R). אנסה להוכיח בערב או מחר בבוקר כי כרגע מגרשים אותי מהמחשב.

 

[emissary]

פתרון בערך

OK אז את הראשון נחלק לשלושה סוגים 1. בקטע סגור, לפי משפט קנטור שההוכחה שלו היא איזה 10 עמודים כל פונקציה רציפה בקטע סגור היא רציפה במידה שווה. 2. קטע פתוח (לא אינסופי), משום שהיא מונוטונית ורציפה וחסומה יש לה גבול בקצוות אז ניתן ליצור פונקציה חדשה, שמוגדרת בקטע הסגור כך: בקטע הפתוח היא מוגדרת כמו הפונקציה הראשונה ואילו בקצוות היא מוגדרת כמו הגבול של הפונקציה הראשונה, ושוב לפי קנטור. 3. קטע אינסופי, משום שהיא חסומה נובע שיש לה גבול באינסוף, כלומר לכל e>0 קיים M<0.... כלומר מנקודה מסויימת הוא לא מתרחק מערך מסוים. ושם זה נוח להוכיח שהוא רבמ"ש עפ"י הגדרה, ובשאר הוא שוב בקטע סגור כך שלפי קנטור..... אני מקווה שהבתנה את החלק השךלישי כי קשה להסביר את זה בלי ציור.

 

[טלמון סילבר]

וגם פתרון נוסף

שווה ערך לפתרון המוצע למעלה. ר´ קובץ.