רבותי, אתגר.

[איגור קרסיק]

רבותי, אתגר.

נסו להוכיח את המשפט הבא הקרוי "משפט מנלאוס". הוא אומר: יהי ABC משולש.תהי P נקודה על הצלע AB (שאיננה A או B) נעביר דרכה ישר החותך את הצלע AC בנקודה R ואת המשך צלע BC ב-Q. אזי AP חלקי BP כפול BQ חלקי CQ כפול CR חלקי RA שווה ל-1. משפט זה הביא המורה שלי למתמטיקה בתיכון [לכל הכיתה]. יש משפט נחמד נוסף שהוא הביא והוא הוכחת קיום ישר אוילר [זה בעצם שעורי הבית שלי...] והמשפט אומר: בכל משולש פרט לשו"צ נקודת פגישת הגבהים H, מרכז המעגל החוסם את המשולש Q ונקודת מפגש התיכונים L נמצאים על ישר אחד. כמו כן, HL=2HQ כאשר L נמצאת בין Q ל-H. כמובן שבשיעורי הבית ישנם מספר סעיפים מדריכים... אבל אני בטוח שאתם לא זקוקים לזה... בהצלחה.

 

[איגור קרסיק]

משהו קטן

בשביל למנוע אי הבנות, המשפט [הראשון] טוען ש:

[AP/BP]*[BQ/CQ]*[CR/RA] = 1​

 

[sharc]

דרך לפיתרון

העבר מהנקודה P ישר מקביל לצלע BC החותך את AC בנקודה M כעת מדמיון המשולשים QCR ו MRP וגם המשולשים AMP ו ABC ניתן להוכיח את התוצאה.

 

[איגור קרסיק]

.....

נסה לפרט את הדרך שלך...

 

[sharc]

המשך הוכחה

מדמיון QRC MRP

MR/CR=MP/QC​

מדמיון ABC AMP

(CR+MR)/AC=BP/AP => MR=AC*BP/AB-CR
MP/BC=AP/AB => MP=BC*AP/AB
AC*BP/AB*CR -1 =BC*AP/AB (AR*BP+CR*BP-AB*CR)/AB*CR =(BQ+QC)*AP/AB*QC (<= AC=CR+AR ) (AR*BP-CR*AP)/CR=(BQ+QC)*AP/QC (<= AB-BP=SP ) AR*BP/CR -AP =BQ*AP/QC -AP AR*BP/CR = BQ*AP/QC AR*BP*QC/CR*BQ*AP=1​

מ.ש.ל

 

[sharc]

תקון קטן

השורה השישית צריכה להיות:

(AR*BP-CR*AP)/CR=(BQ+QC)*AP/QC ( <= AB - BP = AP )​

כלומר במקום SP אז AP בנוסחה AB-BP=AP