קשירות מסילתית

[lebron james2]

קשירות מסילתית

הגדרה:
קבוצה A היא קשירה מסילתית אם קיימת פונקציה רציפה zz f: [0,1] -> A zz
כך ש: zz gama(1) = b , gama(0) = a zz, לכל a,b in A.

מדוע נובע מההגדרה הזו שכל שתיי נקודות ב-A ניתן לחבר בקו?

ושאלה שנייה:

A תת קבוצה של R^2 בת מנייה.
הוכח/הפרך: R^2/A קשירה מסילתית.
כנראה שאני לא מבין טוב את המושג של קשירות מסילתית עדיין, ולכן קשה לי לקבל כאן אינטואיציה..לכן גם שאלתי בשאלה 1 את מה שלא ברור לי בהגדרה של קשירות מסילתית.

תודה מראש!

 

[אורי769]

אני אענה לך בשאלה

המושג "לחבר בקו" הוא לא מושג מתמטי. זה מושג אינטואיטיבי. לפחות כל עוד לא הגדרת אותו. השאלה שלי אליך היא : איך היית מגדיר "ניתן לחבר בקו" ?

 

[lebron james2]

בלי להרים תטוש מהלוח? שפורמלית זה אומר רציפות?

אם כן, אז שוב אני לא רואה איך נכנסת כאן ההגדרה הפורמלית של רציפות..
באינפי 1, כשהפונקציות היו מוגדרות על מערכת צירים קרטזית רגילה, המושג רציפות והגדרתו (הן בלשון אפסילון דלתא, והן בלשון סדרות) ישבו לי טוב בראש, והיו ברורים לי.

כאן כשמדובר על מסילות..שוב זה קצת מבלבל אותי..המסילה מוגדרת מקטע סגור בין 0 ל-1, על ציר X ממשי, וגמא שולחת תנקודות בקטע הזה לקבוצה A כלשהי, שאלוהים יודע באיזה עולם היא מוגדרת..

המרחק אפיסלון, הוא מרחב סביב איזה נקודה?
המרחק דלתא, הוא מרחב סביב איזו נקודה?

כשדובר על פונקציות באינפי 1, אפסילון היה מרחב על ציר y, דלתא היה מרחק על ציר x.

כאן זה לא ברור לי.

 

[אורי769]

גם טוש ולוח לא מוגדרים

מה שנכון באינפי 1 ממשיך להיות פחות או יותר אותו הדבר
f : R -> R^n נקראית רציפה ב-x0 אם
לכל e>0 קיים d>0 שלכל x-x0|<d| מתקיים ש-(f(x) in B(f(x0),e
(כאשר (B(y,r זה הכדור ברדיוס r סביב y).

זאת ממש אותה ההגדרה. גם כאן, אפסילון מתייחס לסביבה של הנקודות בתמונה ודלתא לסביבה של הנקודות במקור.

 

[lebron james2]

אבל מה שכתבת

זה לגבי פונקציה f מ-R ל-R^n.

אני מדבר על מסילה. זה שונה, לא?

מה ההגדרה הפורמלית של מסילה. מופיעה אצלי הגדרה של קבוצה קשירה מסילתית. כנראה הוא שכח לתת הגדרה של מסילה, או שאני שכחתי לכתוב.

אני חושב שמסילה זו לא פונקציה.

 

[אורי769]

מסילה

אם a,b נקודות ב-R^n אז מסילה בין a ל-b זו פונקציה רציפה
f : [0,1] -> R^n
כך ש-f(0)=a ו-f(1)=b
מסתבר שמסילה היא דווקא כן פונקציה

 

[lebron james2]

ובכן

ההגדרה שכתבת מקודם של רציפות, זהה לחלוטין עבור מסילה, רק שבמסילה
ה-d שכתבת, מסמל מרחק בקטע [0,1]?

עדיין נראה לי מוזר משהו..מה שאתה אומר זה שמסילה זה מקרה פרטי של פונקציה, רק שהתחום שלה הוא הקטע הסגור בין 0 ל1?
אז למה להמציא מושג חדש "מסילה", אם זו בסך הכל פונקציה?


וגם..למה התחום שלה הוא דווקא בקטע הסגור בין 0 ל1?

 

[אורי769]

תשבות

מסילה היא מקרה פרטי (מאד) של פונקציה. נכון מאד. למה להמציא? ככה עובדת המתמטיקה. מגדירים דברים בעזרת דברים אחרים. כאשר יש רעיון שחוזר על עצמו, אז נותנים לו שם. אם למדת תורת הקבוצות, אתה בטח יודע שפונקציה זה רק מקרה פרטי של יחס. גם יחס זה מקרה פרטי של תת-קבוצה.... ללא ספק לכתוב "נתונה מסילה בין a ל-b" זה יותר קצר מלכתוב "נתונה פונקציה רציפה f: [0,1] -> X כך ש...."

לגבי למה התחום הוא הקטע [0,1]? התשובה היא שאפשר גם להגדיר לפי הקטע הסגור [127,328.5]

רק שקל מאד להוכיח שההגדרות הללו שקולות. מה שמשעותי כאן הוא שהקטע הוא סגור. הבחירה ב-[0,1] היא יותר נוחה וגם יותר "מתקשרת" עם הרעיון של מה זה מסילה. אתה בעצמך אמרת שמסילה זה "בלי להרים את הטוש". כלומר את מחבר את נקודה a עם b בלי להרים את הטוש. דמיין שלוקח לך שניה לשרטט את הקו הזה. אתה מריץ סטופר. f זו הפונקציה שאומרת איפה אתה על הלוח בכל חלק של השניה הזו. f(0)=a כי ברגע ההתחלה אתה ב-a ואילו f(1)=b כי בסיום השניה אתה ב-b.

 

[lebron james2]

אוקיי. יותר ברור עכשיו. תודה!

 

[lebron james2]

אגב

יש מצב לעזרה עם השאלה השנייה ששאלתי בפוסט הראשון?
שכחתי אותה לרגע :>

 

[אורי769]

צריך הבהרה

מה הכוונה ב-R^2/A ? האם מדובר בחיסור או במנה?

 

[lebron james2]

חיסור

 

[אורי769]

אוקיי

אז ראשית, חיסור מקובל לסמן כך X-Y או X\Y. הסימון X/Y מתייחס למנה.

ולגבי השאלה. יש לציין שזו שאלה לא קלה. בא אני אגלה לך שהתשובה היא כן. כלומר, R^2-A היא קשירה מסילתית. כדי להוכיח את זה צריך להראות שקיימת מסילה בין כל שתי נקודות. הדרך להראות זאת זה להוכיח שבהנתן שתי נקודות x,y ב-R^2, יש קבוצה לא בת מניה של מסילות ב-R^2 הזרות זו מזו בין x ו-y. נסה ראשית להבין איך מזה מוכיחים את הטענה ואח"כ נסה לבנות קבוצה כזו של מסילות.