קפיצים קפיצים קפיצים

[אודי91ב]

קפיצים קפיצים קפיצים

שלום
את עזרתכם בשתי שאלות:
1. קופץ באנג'י בעל מסה m קובץ מגשר גבוה כשלגופו קשור קפיץ בעל קבוע כוח מסוים שאורכו הרפוי הוא l.
נתון שהקפיץ בולם את האיש כשהקפיץ מתארך אורך 2l.
איך למצוא את קבוע הכוח k?

2. על קפיץ עם בגוע k מונחת קערה בעלת מסה M ועליה מונח בול עץ בעל מסה m. הקפיץ ושתי המסות יכולים לנוע בקו אנכי בלבד.
סעיף א של השאלה היה למצוא את המשרעת A המקסימלית בה תוכל המערכת להתנודד מבלי שבול העץ יינתק מהקערה. (אני בלי הספר כרגע אז אין לי את התשובה אבל הצלחתי למצוא את זה.)
סעיף ב: מכווצים את הקפיץ שיעור 2Amax כלומר פעמיים המשרעת המירבית שמצאנו בסעיף א, ומבקשים לדעת את רגע הניתוק של הבול מהקערה, באיזה גובה מעל הקרקע זה ייקרה, ולאיזה גובה הבול יגיע.
אשמח לקרוא תיאור איכותי של פעולת המערכת ואז אולי אצליח להבין איך להגיע לתשובה.
תודה רבה

 

[Practical Realist]

תשובה ל - 1

לדעתי לפי אנרגיות: האנרגיה הפוטנציאלית הגרביטציונית של הקופץ לפני הנפילה שווה לאנרגיה הפוטנציאלית של הקפיץ כשהוא נעצר.
כיוון שהקפיץ הגיע לאורך 2L אז זהו הגובה ממנו נפל הקופץ, לכן:
zz ½•k•L² = m*g*(2L) zz
הקפיץ התארך ב - L ביחס למצבו הרפוי, כלומר הקופץ נפל גובה L ללא התארכות, ועוד גובה L עם התארכות.
שאלה 2 ב' לא כל כך הבנתי, אם תוכל בהמשך להעלות צילום של השאלה זה יעזור.

 

[אודי91ב]

אין לי תמונה

תחשוב שמחוברת קערה בעלת מסה M לקצה העליון של הקפיץ, ועל הקערה מונח בול עץ קטן. הקפיץ בחלק התחתון לרצפה.

 

[אודי91ב]

כמו בציור, רק עם עוד בול עץ קטן למעלה

 

[אודי91ב]

התשובה לAmax של סעיף א

Amax=g(m+M)/k

 

[אודי91ב]

תשובה מהספר

k=4mg/l

 

[Practical Realist]

עזרה ל - 2

לגבי 2, נראה לי שהדרך היא ע"י מאזן אנרגיות וגם כוחות:
האנרגיה הפוטנציאלית של הקפיץ בכיווץ מירבי 2Amax צריכה להיות שווה לאנרגיה הקינטית ועוד הפוטנציאלית הכובדית של הגוף ושל הקערה ברגע הניתוק, ועוד האנרגיה של הקפיץ באותו רגע.
בזמן הניתוק המהירויות של הגוף ושל הקערה שוות, אז לפי אנרגיות (אני מניח שהניתוק קורה אחרי שהקפיץ השתחרר לגמרי והחל להמתח בעלייה לשיעור x):
zz ½*k*(2Amax)² = (M+m)*g*x + ½*(M+m)*V² + ½*k*x² zz
כאשר h נמדד מעל נקודת השחרור של הקפיץ (תחילת התנועה).
בנוסף ברגע הניתוק, הכוח הנורמלי שמפעיל הגוף על הקערה הוא אפס, לכן משקלה ועוד כוח הקפיץ שווה לשקול הכוחות:
zz k*x + M*g = M*d²x/dt² zz
וגם ידוע ש:
zz V = dX/dt zz

אולי יש דרך קלה יותר, כרגע אני לא רואה כזאת.

לגבי שאלה 1, התשובה מתאימה למה שרשמתי (מתקבלת אחרי צמצום ב - L וכו').

 

[Practical Realist]

תיקון

אם גובה הניתוק נמדד מעל נקודת השחרור של הקפיץ, המשוואה הראשונה צריכה להיות:
zz ½*k*(2Amax)² = (M+m)*g*(x+2Amax) + ½*(M+m)*V² + ½*k*x² zz
כי האנרגיה הפוטנציאלית של הצלחת והגוף נמדדות גם הן מגובה הכיווץ המירבי של הקפיץ.