קיצון ל-cosh

[lifeofpai]

קיצון ל-cosh

היי,
מבקשים למצוא את הקיצון.

גזרתי יצא לי
-sinx+sinhx
ניסתי גם במקום לגזור להכניס את הזהות של coshx עם e אבל זה עוד יותר סיבך, הגעתי למשווה עם e^x וsinx
איך מתקדם? משווה ל-0? איך עובדים עם זה?
אני לומד חדו"א 1 כך שלא מכיר מושגים של חדו"א 2.

תודה רבה.

 

[טלמון סילבר]

פתרון

דבר ראשון, נרשום את הפונקציה ואת הנגזרות הראשונות שלה (בהמשך יתברר, מדוע אנו רושמים דווקא 4 נגזרות):
y = cos(x) + cosh(x)
y' = - sin(x) + sinh(x)
y'' = - cos(x) + cosh(x)
y''' = sin(x) + sinh(x)
y'''' = cos(x) + cosh(x)
מכיוון שהפונקציה זוגית (ו"חלקה"), בנקודה x=0 חייבת להיות נקודת קיצון.
ואכן:
f'(0) = f''(0) = f'''(0)= 0
f''''(0) > 0
מה שאומר, שבנקודה x=0 יש לפונקציה מינימום.
עכשיו השאלה היא: האם יש לפונקציה נקודות קיצון נוספות?
נַראה, שלמשוואה:

y' = - sin(x) + sinh(x) = 0

אין פתרונות נוספים חוץ מ- x=0, כלומר, לא קיימות אפילו נקודות נוספות החשודות כנקודות קיצון.
אכן, הפונקציה:

(y')' = y'' = - cos(x) + cosh(x)

גדולה מ-0 עבור כל x (למעט x=0), מה שאומר, שהנגזרת הראשונה 'y היא פונקציה מונוטונית (עולה), ולכן היא מקבלת את הערך 0 רק פעם אחת, כאשר x=0.
[מצורף סרטוט עם הגרפים של הפונקציות (sinh(x ו- (sin(x, הממחיש את שוויונן (המאפס את הנגזרת הראשונה) בנקודה x=0 בלבד]

 

[lifeofpai]

תודה רבה!

 

[טלמון סילבר]

בשמחה

 

[טלמון סילבר]

הערה: מעניין טור טיילור של הפונקציה הנ"ל

רואים בו בעין בלתי מזוינת, מדוע יש לפונקציה נקודת קיצון (מינימום) אחת בדיוק, ומדוע רק הנגזרת הרביעית שונה שם מ-0.