הרבה זמן לא עשיתי כזאת שאלה, אבל
הנה נסיון. קודם, נניח שיש הבדל בין התאים... (כלומר, התאים מסודרים בשורה, למשל) נסמן ב-A את קבוצת כל האפשרויות לחלק 400 כך שיש תא שיש בו יותר מ-200 כדורים, ונסמן ב-B את קבוצת כל האפשרויות לחלק 400 כדורים כך שיש תא שיש בו פחות מ-100 כדורים. כעת, נמצא את מספר האברים בקבוצות /המשלימות/ של A,B. נסמן: C המשלימה של A. כלומר, C היא מספר האפשרויות לחלק 400 כדורים כך שבכל תא יהיו לכל היותר 200 כדורים. נמצא את מספר האפשרויות: נשים לב שאם כל תא מכיל בדיוק 400 מקומות, הרי שבסוף התהליך צריכים להיות 800 מקומות ריקים. אם בכל תא יהיו לכל היותר 200 מקומות מלאים, הרי שבכל תא יהיו לכל הפחות 200 מקומות ריקים. כלומר, מתוך ה-800 מקומות ריקים, נשים 200 בכל תא - נשארנו עם 200 מקומות לחלק. לכך יש 202 מעל 200 אפשרויות לפזר. כלומר:
202*201/2=101*201=20301
כעת, נסמן ב-D את המשלים של B. כלומר, את כל האפשרויות שבהן יש לפחות 100 כדורים בכל תא. שוב, בדומה לקודם, מספר האפשרויות יהיה 102 מעל 100, כלומר:
102*101/2=56*101=5656
כעת, נחשב את מספר האפשרויות לחלק את הכדורים כך שבכל תא יהיו לפחות 100 כדורים אבל לכל היותר 200. כלומר, נשים 100 בכל תא ונישאר עם 100 כדורים לחלק, אבל לא חשוב כמה כדורים נשים איפה, תמיד נעמוד בדרישה שיהיו לכל היותר 100 כדורים. כלומר, גם כאן מספק האפשרויות הוא 5656. כעת, מספר האפשרויות הכולל לחלק 400 כדורים לשלושה תאים הוא 402 מעל 400, כלומר:
402*401/2=201*401=80601
נסכם: מספר האפשרויות ב-C איחוד D הוא: מספר האפשרויות ב-C, ועוד מספר האפשרויות ב-D פחות מספר האפשרויות ב-C וב-D. בסה"כ, נקבל את מספר האפשרויות ב-C שהוא 20301. כעת, לפי דה מורגן, מתקיים: המשלים של C איחוד D הוא A חיתוך B, ולכן מספר האפשרויות שם הוא:
80601-20301=60300
כעת, נשים לב לתוצאה מעניינת. למעשה, קיבלנו שהתוצאה הדרושה היא ההפך מ-C. כלומר, אם קיים תא שיש בו לפחות 201 כדורים, אז גם יש תא שבו יש לכל היותר 99 כדורים. ואכן, תכונה זו מתקיימת. אם שמנו 201 כדורים בתא אחד, נשארו 199 כדורים לפזר בשני התאים. כדי שנשים "הכי פחות" בכל תא, נפזר אותם חצי חצי, כלומר, נשים 99 כדורים בכל אחד משני התאים הנוספים. כעת, הכדור האחרון יהיה רק באחד מן השניים וכך נקבל בתא אחד בדיוק 99! (זה היה המקרה הגרוע ביותר, בשאר המקרים - בטוח יהיה 99 או פחות) מקווה שעזרתי. אהד.
ניר