פונקציות מעניינות

[pallidfool]

פונקציות מעניינות

אודה למי שיוכל להביא דוגמות לפונקציות המקיימות את התנאים הבאים: פונקציה ראשונה - אינטגרבילית בקטע הסגור אפס עד אחד, גדולה ממש מאפס בכל נקודה בקטע הזה, והאינטגרל המסויים שלה בקטע - אפס. אני ממש סקרן לגבי זאת... לפי הבנתי היא אינה יכולה להיות רציפה באף נקודה, בכל קטע חייב להיות מספר קטן כרצוני, ועוד שלל דברים מעניינים. ניסיתי לבנות פונקציה כזו, אך מצאתי רק הגדרה חלקית עבור מספרים רציונלים, וכמובן שזה לא מספיק. לזכותי יאמר שלא למדתי חומר ברמה כזו. בכל מקרה, אם אין כזו פונקציה, אשמח לקבל קווים כלליים להוכחה לכך, ואם יש, מאוד אשמח לקבל את הפונקציה עצמה. את הפונקציה השניה שכחתי. אשרשר אותה לכאן כשאזכר. עוד משהו - אילו משפטים יש להוכחה שפונקציה -אינה- אינטגרבילית? האם פונקציה שאינה רציפה בכל נקודה בתחום מסויים אינה אינטגרבילית? אדגיש שזה לא לקורס שאני לומד או משהו, אלא רק לסקרנות. תודה רבה, דניאל.

 

[Halfbaked]

אין פונקציה כזאת!

וזאת לפי משפט לבג, האומר שפונקציה חסומה בקטע סגור הינה אינטגרבילית בקטע זה אם ורק אם קבוצת נקודות אי-הרציפות שלה היא בעלת מידה אפס. קבוצת מספרים ממשיים היא בעלת מידה אפס, אם לכל e חיובי קיים כיסוי פתוח של הקבוצה (כלומר אוסף קטעים פתוחים המכיל את הקבוצה), כך שסכום אורכי הקטעים בו קטן מ-e. כפי שציינת, קבוצת נקודות אי-הרציפות של הפונקציה המבוקשת חייבת להיות הקטע [0,1] כולו, וברור שקבוצה זו אינה בעלת מידה אפס. מכאן שלפונקציה אין אינטגרל בקטע [0,1] ומכך נובע שהפונקציה המבוקשת כלל אינה קיימת. הוכחת משפט לבג מעט מורכבת, ואם קיים ביקוש אנסה לתאר אותה בהמשך.

 

[pallidfool]

נהדר

המשפט הזה לא נלמד באינפי I (באו"פ). איפה הוא יהיה? אינפי II או III? תודה רבה! בעיה זו שקולה לשאלה על שתי פונקציות (אינט´) בקטע סגור כך שאחת גדולה מהשניה ממש, האם האינטגרל של הגדולה גדול ממש משל השניה (והתשובה היא כן, כמובן, ע"פ ההסבר שלך). אם תוכל אשמח לראות קווים כלליים להוכחת משפט לבג. דניאל.

 

[איגור קרסיק]

באו"פ המשפט נלמד ב"תורת המידה"

וגם אני מעוניין לראות קווים כלליים של ההוכחה [שכן את הקורס הנ"ל אלמד רק בעוד שנה...].

 

[אוילר]

באונ´ העברית:י

המשפט נלמד לעתים באינפי 2 , והכללתו נלמדת באינפי מתקדם