פונקציה מדידה

[liat 001]

פונקציה מדידה

כיצד ניתן להוכיח את הכיוון השני,ששמאל גורר את ימין?

 

[AnarchistPhilosopher]

תשובה.

אומרים ש-f פונקציה מדידה אמ"ם לכל a \in [-\infty ,\infty] הקבוצה: {x\in X: f(x) <= a} היא קבוצה מדידה, כלומר שייכת לסיגמא אלגברה A.
&nbsp
לכן אם f^{-1}((a,\infty[ קבוצה מדידה, מה היחס שלה לקבוצה הנ"ל?
ומה אפשר להגיד שהיחס שלה כלפי הסיגמא אלגברה, A, האם היא שייכת אליה?
&nbsp
&nbsp

 

[1ca1]

לא מדוייק

פונקציה בין שני מרחבי מידה f:X->Y מדידה אמ"מ לכל מדידה B ב-Y מתקיים ש-f^-1(B) מדידה ב-X.
&nbsp
&nbsp
ספציפית כשכותבים f:X->R או f:X->C מדידה, מתכוונים למדידות ביחס לאלגברת בורל.
מאחר שאלגברת בורל נוצרת ע"י קבוצת פתוחות, מספיק להראות ש- f^-1(a,b) מדידה לכל a<b ממשיים (ואולי להוסיף את מקרי הקצוות כולל אינסוף, אם מאפשרים פונקציות מוכללות).
&nbsp
הכיוון מימין לשמאל ברור, אז הסיפור הוא הכיוון השני.
&nbsp
אז התרגיל לליאת הוא לקשר את (a,b) עם הקבוצות מהצורה
zz (a,infinifty] zz
וחברותיהן בסיגמא אלגברה, דרך פעולות של קבוצות שמותרות בסיגמא אלגברה.
&nbsp
ההגדרה שאתה נתת בדיוק שקולה למה שצריך להוכיח, אחד לאחד. הבחירה בקטן שווה או קטן ממש היא שרירותית ולא משפיעה בכלל על ההגדרה.

 

[AnarchistPhilosopher]

ההגדרה שנתתי לקוחה מהספר של האו"פ, כרך שלישי.

פשוט צריך לקחת משלים במקרה של מה שרשמתי. אז אמנם אין הרבה מה לרשום אבל עדיין זו לא ההגדרה.
&nbsp

 

[1ca1]

אז ההגדרה שם שגויה

אני יכול להפנות אותך למקומות קצת יותר מכובדים, כמו רודין למשל, ההגדרות בפרק הראשון.
&nbsp
א-פריורי, אפשר לקחת סיגמא-אלגברה שונה לחלוטין על R, כאמור, מדידות של פונקציה מוגדרת בין 2 מרחבי מידה.
&nbsp
כמובן שזה שקול לחלוטין להגדרה הרגילה וזה בעצם התרגיל שצריך לעשות.

 

[liat 001]

תודה לשניכם!!אנסה לפעול כפי שייעצת לי 1ca1

 

[AnarchistPhilosopher]

יש לי גם את הספרים של רודין.

לא תיארתי לעצמי שיהיה הבדל.
&nbsp

 

[liat 001]

בדיוק זאת הבעיה שלי

המרצה נתן הגדרה אחת (פונקציה היא מדידה אם התמונה ההופכה של קבוצה מדידה היא מדיה) ואליובספר של הפתוחה (שאני נעזרת בו) נתנו את המשפט הזה כהגדרה של מדידה