ע"ע ולכסון

[white shadow 3]

ע"ע ולכסון

קיימת - מטריצה ממשית 2x2 שאינה הפיכה, ואינה לכסינה מעל C.
אם המשפט נכון צריך לתת דוגמא.

שברתי על זה את הראש הרבה, ניסיתי למצוא למה יכולה להתקיים מטריצה ממשית שלא תהיה לכסינה מעל C (הרי יכולים להיות a מרוכב שיהווה פתרון לפולינום האופייני) ולא מצאתי אז הנחתי שהמשפט לא נכון.
מסתבר שזאת טעות.

אשמח לעזרה בדוגמא לאחת כזאת...

תודה!

 

[אורי769]

הדרכה

הנה שתי טענות. האחת אתה ודאי כבר יודע. השניה אולי...
1) מטריצה הפיכה <===> כל הע"ע אינם 0.
2) אם הריבוי של כל האלגברי של כל ע"ע (מעל C) הוא 1, אז המטריצה לכסינה.
מזה אתה חייב להסיק שאם קיימת A כזו אז היא חייבת לקיים ש-
א. 0 הוא ע"ע שלה.
ב. 0 הוא מריבוי 2 - כלומר הוא הע"ע היחיד.
נסה לעבוד עם זה... אם זה לא יספיק אתן עוד רמז

 

[white shadow 3]

אמממ....לפי זה

מטריצת האפס...?

אגב, אפשר עוד קצת העמקה לגבי 2: "אם הריבוי של כל האלגברי של כל ע"ע (מעל C) הוא 1 אז המטריצה לכסינה".
אם, סתם לדוגמא, לקחתי מטריצה ממשית וקיבלתי שהע"ע שלה הם מינוס 1 מריבוי 2 וגם 5 מריבוי 1 - מה המשמעות של המשפט שכתוב שורה למעלה על התוצאות האלה? זה אומר שכל מטריצה שיש לה ע"ע עם ריבוי 2 ומעלה ב-R, לא לכסינה ב-C?

 

[אורי769]

כמעט

מטריצת האפס היא לכסינה. למעשה היא כבר בצורה אלכסונית - לא?

לגבי שאלתך על 2 - הטענה ב-2 אינה אם ורק אם. בא אני אזכיר לך דברים (שהם הרבה יותר חשובים מהשאלה ששאלת) - אם A מטריצה ו-k ע"ע אז יש שני ריבויים. הריבוי האלגברי שהוא הריבוי של k בפולינום האופייני. כלומר איזה חזקה של x-k מחלקת את הפולינום האופייני. הריבוי השני הוא הריבוי הגיאומטרי שהוא מימד המרחב העצמי של k. שני דברים שאנחנו יודעים על הריבויים האלה:
א. הריבוי האלגברי גדול או שווה לריבוי הגאומטרי
ב. הריבוי הגאומטרי הוא לפחות 1. לכן אם הריבוי האלגברי הוא 1, אז הם שווים.
כדי ש-A תהיה לכסינה מעל שדה כלשהו, נגיד מעל R, אז צריך קודם כל שהשורשים של הפולינום האופייני יהיו ב-R. במקרה של C זה ברור כי C סגור אלגברית. בנוסף לזה כדי ש-A לכסינה אם ורק אם הריבוי האלגברי והגיאומטרי שווים לכל ע"ע של A. אז אם הריבוי של כל ע"ע הוא 1 זה ברור. אם הוא לא 1 אז ייתכן כך וייתכן אחרת. לדוגמא בשאלה שלך, יש מטריצות שבהן הריבוי הוא 2 והן לכסינות. זה קורה כאשר גם הריבוי הגיאומטרי הוא 2. לדוגמא, מטריצה האפס מסדר n היא מטריצה לכסינה ובה 0 הוא מריבוי n. מטריצת היחידה מסדר n היא מטריצת לכסינה ובה 1 הוא מריבוי n.

 

[white shadow 3]

אם הבנתי נכון

אז לדוגמא
zz 1 1 zz
zz -1 -1 zz
עונה על התנאים (היא לא הפיכה, והפולינום האופייני שלה יוצא
zz (a-1)(a+1)-(-1)=a^2 zz

לעניין אחר אך דומה - על מנת לוודא שהבנתי
אם אני מחפש מטריצה שהיא כן הפיכה אבל לא לכסינה מעל C אני בעצם מחפש מטריצה שיש לה ע"ע ששונה מ-0, אבל הוא מופיע מריבוי 2
לדוגמא
zz 1 1 zz
zz 0 1 zz
נכון?
שהשורש של הפולינום הוא 1 מריבוי 2...

 

[אורי769]

נכון

שתי הדוגמאות שנתת נכונות.

 

[white shadow 3]

תודה רבה!!!